quarta-feira, 1 de fevereiro de 2012

013-Expansão Multinomial


EXPANSÃO BINOMIAL 

A propriedade distributiva da multiplicação nos garante que o desenvolvimento de, por exemplo, [;(x+y)^5;] é o somatório de produtos do tipo

[;(x;] ou [;y);].[;(x;] ou [;y);]....[;(x;] ou [;y);] com [;5;] fatores.

Em cada fator temos [;2;] possibilidades, assim o número total de possibilidades de produtos desta forma é [;2^5=32;].
Neste tipo de somatório computa-se inclusive os produtos do tipo [;xxyyy;], [;xyxyy;],[;xyyxy;], etc, onde todos representam o mesmo monômio [;x^2y^3;] . Fiz esta colocação para os leitores entenderem a natureza do coeficiente de [;x^2y^3;].  O coeficiente de [;x^2y^3;] será o número de anagramas ( permutações literais ) de [;\overbrace{xx}^2. \underbrace{yyy}_3;]. Assim, temos [;5;] elementos onde ocorrem [;2;] repetições de um e [;3;] repetições de outro. Logo, pelo que estudamos em análise combinatória, [;\frac{5!}{2!.3!}=10;] será o número de anagramas de [;xxyyy;]  e também  o valor do coeficiente de [;x^2y^3;].

Generalizando, no desenvolvimento do binômio de Newton[;(1642-1727);], em [;(x+y)^n;] existirão apenas termos do tipo [;Cx^py^q;], com [;0 \leq p,q \leq n;], onde o coeficiente [;C;] é o número de anagramas de  [;\overbrace{xx...x}^p.\underbrace{yy..y}_q;] .
Portanto,  [;C=\frac{(p+q)!}{p!q!};]

Mas, [;p+q=n;] e [;q=n-p;]

[;\rightarrow;] [;C=\frac{n!}{p!(n-p)!}= {n \choose p};] em [;Cx^py^{n-p};]


A quantidade de termos  [;{ n \choose p}x^py^{n-p};]no desenvolvimento de [;(x+y)^n;] será limitada pela condição  [;0 \leq p \leq n;] de forma que [;p;]sendo, [;n,n-1,...,1,0;] nos indicará que teremos [;n+1;] termos.

Conclusão: [;(x+y)^n={n\choose n}x^ny^0+{n\choose n-1}x^{n-1}y^1+..+{n\choose {1}}x^1y^{n-1}+{n\choose 0}x^0y^n;] 

No segundo membro pode-se inverter os coeficientes devido a equivalência [;{n \choose p} = {n \choose n-p};].

 EXPANSÃO MULTINOMIAL

Dentro deste ponto de vista, fica fácil entender como se formam os coeficiente do desenvolvimento de

[;(x_1+x_2+x_3+...+x_m)^n;]

Seja [;n=7;] e [;m=4;]. De acordo com a propriedade distributiva da multiplicação,  [;(w + x +y +z)^7;]resulta em um somatório de produtos da forma 

[;(w;] ou [; x;] ou [;y;] ou [;z);].[;(w;] ou [; x;] ou [;y;] ou [;z);]....[;(w;] ou [; x;] ou [;y;] ou [;z);], com [;7;] fatores e [;4^7;] possibilidades.

Na síntese destas possibilidades, ocorrerão termos da forma [;Aw^ax^by^cz^d;] [;( 0 \leq a,b,c,d \leq 7 );], com [;a+b+c+d=7;] , onde o coeficiente [;A;] é o número de anagramas de [;\overbrace{ww...w}^a.\underbrace{xx...x}_b.\overbrace{yy...y}^c.\underbrace{zz...z}_d;]   e assim,

[;A=\frac{(a+b+c+d)!}{a!b!c!d!}=\frac{7!}{a!b!c!d!};]  

Como exemplo, temos o termo [;\frac{7!}{2!2!2!1!}w^2x^2y^2z=630w^2x^2y^2z;].

Logo, dados [;n,a_i \in \mathbb{N};] e [; x_i \in \mathbb{R};], a expansão multinomial  [;(x_1+x_2+x_3+...+x_m)^n;]é o somatório condicional


 [;\sum_{a_1+a_2+...+a_m=n} \frac{n!}{a_1!a_2!...a_m!}x_1^{a_1}x_2^{a_2}...x_m^{a_m};]



REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

Fundamentos de Matemática Elementar Vol 5 ( Combinatória-Probabilidade ), Samuel Hazzan, Atual Editora, 1996.

4 comentários:

  1. Muito bem explicado a expansão multinomial fazendo analogias com o binômio de Newton. Parabéns!

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  2. Olá Aloisio,gostei da exposição, por sinal, muito prática e de fácil entendimento. Em continuidade, desejo comentar que é possível estabelecer uma fórmula bastante interessante para a expansão multinomial, bem como inúmeras relações entre os coeficientes do desenvolvimento. Tal fórmula ainda admite várias generalizações, assim como existem para aquela do desenvolvimento binomial, e pode ser empregada para a obtenção de fórmulas específicas para o cálculo de potências de um polinômio e na expansão do produto de n polinômios, onde cada um pode ter qualquer quantidade de variáveis. Neste caso, podem ser utilizadas estruturas análogas a matrizes e determinantes.

    Em breve, e na medida do possível, poderei compartilhar esses conhecimentos.

    Abraços!

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    Respostas
    1. Oi, Neylor Roberto!

      Seja bem vindo e fico feliz por ter gostado do post!

      Fiquei curiodo sobre a fórmula da expansão multinomial, a qual se refere. Fico no aguardo de mais informações.

      Valeu e um abraço!

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