quinta-feira, 26 de janeiro de 2012

011-Funções Aritméticas Multiplicativas



Neste artigo, veremos a justificativa do porque o número de divisores de [;2^5.5^{13}.11^8;] é [;(5+1)(13+1)( 8+1);]. Veremos também um atalho eficaz para calcular a soma dos divisores positivos de qualquer número primo ou composto, assim como o cálculo da soma das potências destes divisores. Para estas operações, apresento aos leitores  a função aritmética multiplicativa.
Função aritmética [; f;] é uma função [;\mathbb{N^*}: \left{1,2,3,...n,...\right }\rightarrow \mathbb{R};] cuja lei de formação depende de [;n;].
[;f;]é considerada multiplicativa se possui a seguinte propriedade: [;f(mn)=f(m)f(n);], com [;mdc(m,n)=1;].


TEOREMA 1

Se [;f;] é multiplicativa e se [;n_1,n_2,...n_r;] são inteiros positivos, onde cada um não tem fatores primos em comum com qualquer outro ( [;1\leq i, j \leq r;], [;i \neq j ;] e [;mdc(n_i,n_j)=1;]  ) , então

[;f(n_1.n_2....n_r)=f(n_1)f(n_2)...f(n_r);]

O que este teorema diz é que se a propriedade da função aritmética multiplicativa é válida para [;2;]  fatores ( por definição ), então ela é válida para qualquer número [;r;] de fatores, desde que sejam cumpridas as condições de primalidade entre eles.

Demonstração: será por indução. Suponha que o teorema seja verdadeiro para algum [;k<r;] . Com esta hipótese, mostrarei que ele é válido para [;k+1;] e, como consequência, a validade será estendida para [;r;]. Se não, vejamos. Seja

[;f(n_1.n_2....n_k)=f(n_1)f(n_2)...f(n_k);]  a hipótese de indução.

Pela condição [;mdc(n_i,n_j)=1;], o produto [;n_1.n_2...n_k;] não tem fatores primos comuns com [;n_{k+1};]. Portanto, [;mdc[(n_1.n_2...n_k),n_{k+1}]=1;]. Pela definição de função aritmética multiplicativa e junto com a hipótese de indução, temos

[;f[(n_1.n_2....n_k).n_{k+1}]=f(n_1.n_2...n_k).f(n_{k+1})=f(n_1)(n_2)...f(n_k)f(n_{k+1});]

Mas, sabemos que o teorema é válido para [;k=2;] e por consequência da indução, ele é validado para [;k+1=3;]. Assim, ele é válido [;k+2,k+3,...,r;] e fica provado o teorema  para qualquer [;1\leq k \leq r;].

Observação: esta técnica de demostração se chama PRINCÍPIO DE INDUÇÃO INFINITA, talvez o mais importante método de prova Matemática. Serve para provar proposições que dependem de [;m \in \mathbb{N};].É como se fosse o "efeito dominó": derrubando um, todos os outros caem.


TEOREMA 2

A função aritmética [;d(n)=;] número de divisores positivos de [;n;] é multiplicativa.

Demonstração: seja [;a;] e [;b;] [;\in \mathbb{N^*};] na condição [;mdc(a,b)=1;]. Sendo [;d(a)=s;] e [;d(b)=t;], os conjuntos dos divisores de [;a;]  e [;b;] são:  

[;D(a)= \left{a_1=1, a_2, ...,a_{s-1},a_s=a \right};]
[;D(b)=\left {b_1=1, b_2,...,b_{t-1},b_t=b \right};] 

Como [;mdc(a,b)=1;], [;a;] e [;b;] não possuem fatores primos em comum. Assim, qualquer divisor do produto [;a.b;] será um número da forma [;a_i.b_j;], com [;mdc(a_i,b_j)=1;] onde [;a_i \in D(a);] e [;b_j \in D(b);]. Como temos [;s;] possiblidades para os divisores [;a_i;] de [;a;] e [;t;] possibilidades para os divisores [;b_j;] de [;b;], portanto temos [;s.t;] possibilidades para os divisores [;a_i.b_j;] de [;a.b;]. Logo, [;d(a.b)=s.t=d(a).d(b);] provando que [;d(n);] é uma função aritmética multiplicativa.

Observação: para [;p;] primo e [;k;]natural [;\geq 1;], temos [;d(p^k)=k+1;], porque os únicos divisores da potência de um número primo são, [;1;], [;p;],[;p^2;],...,[;p^k;]. Sabendo disso e aproveitando o fato de [;d(n);] ser multiplicativa, podemos calcular [;d(n);], para qualquer [;n;], conforme a seguir.

Exemplo: [;d(98000)=d(2^4.5^3.7^2)=d(2^4).d(5^3).d(7^2)=(4+1).(3+1).(2+1)=5.4.3=60;]

TEOREMA 3

A função aritmética [;S(n)=;]soma dos divisores positivos de [;n;]é multiplicativa.

Demonstração: utilizando as definições da demostração do teorema anterior, vamos mostrar que [;S(a.b)=S(a).S(b);], com  [;mdc(a,b)=1;]. Os divisores do produto [;a.b;] são da forma [;a_i.b_j;], onde [;1\leq i \ \leq s;] e [;1 \leq j \leq t;] , onde [;s;] e [;t;] são os números de divisores de [;a;]  e [;b;], respectivamente. Nestas condições, a soma [;S(a.b);] dos divisores de [;a.b;] será:

[;S(a.b)= a_1(b_1+b_2+...b_t)+a_2(b_1+b_2+...b_t)+...+a_s(b_1+b_2+...b_t);] 

Colocando [;(b_1+b_2+...b_t);] em evidência,

[;S(a.b)=(a_1+a_2+...a_s)(b_1+b_2+...b_t)=S(a)S(b);] 

Exemplo: ( lembrem-se que, para [;p;] primo, [;S(p^k)=1+p+p^2+...+p^k=\frac{p^{k+1}-1}{p-1};] ). [;S(15288)=(2^3.3.7^2.13)=S(2^3)S(3)S(7^2)S(13)=\frac{2^4-1}{2-1}.\frac{3^2-1}{3-1}.\frac{7^3-1}{7-1}.\frac{13^2-1}{13-1}=47880;].

Observação: veja como [;S(n);] foi utilizada para "peneirar" números perfeitos em Números Perfeitos( para abrir em uma nova janela, selecione com o botão direito do mouse ).

[;\rightarrow;] O teorema a seguir será útil para a soma das potências dos divisores positivos de [;n;] .

TEOREMA 4

Se
a) [;D(n)= \left{d_1,d_2,...,d_s \right};] é o conjunto de divisores de [;n;] e
b) [;f(m);] é uma função aritmética multiplicativa qualquer.

então a função aritmética definida por [;\Sigma_{fd(n)}=f(d_1)+f(d_2)+...+f(d_s);] é também multiplicativa.

Demostração: dado [;n=a.b;] com [;mdc(a,b)=1;], sabemos que qualquer divisor deste produto é da forma [;a_i.b_j;], onde [;a_i;] é dividor de [;a;] e [;b_j;] é divisor de [;b;], com [;mdc(a_i,b_j)=1;]. Calculando o somatório [;\Sigma fd(a);] e [;\Sigma fd(b);]destes divisores,

[;\Sigma fd(a)= f(a_1)+f(a_2)+...f(a_s);] e [;\Sigma fd(b)=f(b_1)+f(b_2)+...f(b_t);] 
e o produto destes dois resultados,

[;\Sigma fd(a).\Sigma fd(b)=[f(a_1)+f(a_2)+...f(a_s)][f(b_1).f(b_2)+...+f(b_t)]=;]

[;=f(a_1)[f(b_1)+f(b_2)+...f(b_s)]+f(a_2)[f(b_1)+f(b_2)+...f(b_s)]+...;]
[;...+f(a_s)[f(b_1)+f(b_2)+...f(b_s)]=;]

[;=f(a_1)f(b_1)+f(a_1)f( b_2)+...f(a_1)f(b_s)+;]
[;+f(a_2)f(b_1)+f(a_2).f(b_2)+...f(a_2)f(b_s)+...;]
[;+f(a_s)f(b_1)+f(a_s).f(b_2)+...f(a_s)f(b_s);]

Como é multiplicativa, temos

[;\Sigma fd(a).\Sigma fd(b)=;]
=[;f(a_1.b_1)+f(a_1)(b_2)+...f(a_1)(b_s)+;]
[;+f(a_2.b_1)+f(a_2.b_2)+...f(a_2.b_s)+...;]

[;+f(a_s.b_1)+f(a_s.b_2)+...f(a_s.b_s)+;]

[;=\Sigma fd(n);]

PROBLEMA 1

Com [;p;]primo, [;k;]natural [;\geq 1;] e [;h;]natural [;>1;], calcular a soma das [;h;]-ésimas potências dos divisores de [;p^k;].

Resolução: os divisores de [;p^k;] são [;1,p,p^2,...,p^k;] e suas [;h;]-ésimas potências [;1^h, p^h,p^{2h},...,p^{kh};]  formam uma [;PG;] com primeiro termo [;a_1=1;]  e razão  [;q=p^h;]. Portanto,

para [;f(m)=m^h;], temos [;\Sigma fd(p^k)=1+p^h+p^{2h}+...+p^{kh}=\frac{p^{(k+1)h}-1}{p^h-1};]


PROBLEMA 2

Calcular a soma dos cubos dos divisores de [;20;].

Resolução: o que queremos é [;\Sigma fd(20);], com [;f(m)=m^3;] . Ora, [;f(m);] é uma função aritmética ( totalmente ) multiplicativa porque para [;m=ab;] , [;f(ab)=(ab)^3=a^3.b^3=f(a)f(b);]. E se ainda [;mdc(n_1,n_2)=1;] pelo teorema 4, temos, [;\Sigma fd(n_1n_2)=\Sigma fd(n_1).\Sigma fd(n_2);] caracterizando a multiplicabilidade de [;\Sigma fd( n );] para [;f(m)=m^3;] ( assim como para [;f(m)=m^h;] ).  Logo,


[;\Sigma fd(20)=\Sigma fd(2^2.5)=\Sigma fd(2^2).\ fd \Sigma(5)= \frac{2^{(2+1)3}-1}{2^3-1}.\frac{5^{(1+1)3}-1}{5^3-1}=9198;]


REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

- Funções Aritméticas  - Números Notáveis, de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,1988
- Teoria dos Números, de Salahoddin Shokranian, Marcus Soares, Hemar Godinho; Editora UNB, 1998.

3 comentários:

  1. Cada dia que passa Elementos de Teixeira fica mais iteressante!

    ResponderExcluir
  2. Obrigado, matemático Hunasses! Em breve verei uma teoria sua aqui publicada!

    ResponderExcluir