quarta-feira, 11 de janeiro de 2012

003-Integral Natural e Somatórios

DEDICATÓRIA 



Dedico esse post a União dos Blogs de Matemática ( ), http://ubmatematica.blogspot.com/, do qual agora sou filiado. Da iniciativa do professor Paulo Sérgio e Kleber Kilhian, a prima pela excelência e seriedade, levando aos amantes da matemática uma riqueza de conhecimentos condensados. Eu diria que, se a tivesse um patrono, sem dúvidas seria o frade Minimita Marin Mersenne ( ), um grande difusor de matemática da época.



INTEGRAL NATURAL E SOMATÓRIOS

O método de soma exposto a seguir desenvolvi em , quando tinha anos. Somente  há poucos anos vi algo parecido no livro "Manual de Sequências e Séries - Volume I", Rio de Janeiro, ,  de Luís Lopes, pela Editora QED TEXTE, onde o autor chama a operação de DIFERENÇA FINITA.

No artigo anterior, nós vimos o conceito de derivada natural  aplicável a uma sequência qualquer.
Se temos uma sequência    definida por , sua derivada N será definida por


Em contrapartida, se acharmos uma função tal que , então é a INTEGRAL NATURAL ou integral N de . Simbolizo por . Assim, 

[;\rfloor \lceil f(n);][;=F(n);] tal que [;F(n+1)-F(n)=f(n);]

A variação de [;\rfloor \lceil f(n);] entre limites inclusos, de [;n=a;] até [;n=b;], onde [;a;]  e [;b;] são inteiros positivos com [;a<b;], será representada por

[;\rfloor \lceil_a^b f(n) = [F(n)]_a^b = F(b)-F(a);]

Como a integral N limitada [;\rfloor \lceil_a ^b f(n);]se relaciona com o somatório [;\Sigma_1 ^n f(n);] ? É o que veremos a seguir. 

TEOREMA:  [;\Sigma_1 ^n f(n);] = [;\rfloor \lceil_1 ^ {n+1}f(n) = F(n+1)-F(1);]

Demonstração:  Se for possíver colocar o termo genérico [;f(n);] de uma sequência no formato  do segundo membro de [;f(n)=F(n+1)-F(n);], então poderemos somar os termos [;f(i);]  de [;i=1;] a [;i=n;] como se segue:

[;\Sigma_1^n f(n) =\Sigma_n^1 f(n) = f(n) + f(n-1) + f(n-2)+...+f(3)+f(2)+f(1)=;] 

[;= F(n+1)-F(n) + F(n) - F(n-1) + F(n-1)-F(n-2) + ....;]

[;...+ F(4)-F(3)+F(3)-F(2)+F(2)-F(1)=;][;F(n+1)-F(1);]

 já que, todas as parcelas se anulam, com exceção da primeira e da última.

Mas, por definição, [;F(n) = \rfloor \lceil f(n);]  e, portanto, [;\Sigma_1^n f(n)=F(n+1)-F(1) = \rfloor \lceil_1^{n+1}f(n);]

Exemplo 1:  Achar a soma da Progressão Geométrica ( PG ) de termo genérico [;a_n=a_1q^{n-1};] sendo a razão [;q\neq1;].

Solução: multiplicando [;a_n;] por [;\frac{q-1}{q-1};] obtemos

[;a_n=a_n.\frac{q-1}{q-1}=a_1q^{n-1}.\frac{q-1}{q-1}=\frac{a_1q^n}{q-1}-\frac{a_1q^{n-1}}{q-1};] 

Veja que [;a_n;] fica no formato [;F(n+1)-F(n);] com [;F(n)=\frac{a_1q^{n-1}}{q-1};] 

Portanto,

[;\Sigma_1^n a_n=\rfloor \lceil_1^{n+1}a_n= \left[\frac{a_1q^{n-1}}{q-1}\right]_1^{n+1};][;=\frac{a_1q^n}{q-1}-\frac{a_1q^0}{q-1};][;=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1};]


Exemplo 2: Achar  a soma dos n primeiros termos da sequência definida por

[;p(n)=a_0 n^g + a_1n^{g-1}+a_2n^{g-2}+...+a_{g-2}n^2+a_{g-1}n + a_g;], com [;a_0\neq0;]
Solução: Observem que [;p(n);] é um polinômio de grau [;g;]. Para facilitar a soma, teremos que colocar o termo genérico no formato

[;p(n)=A_0 + (n-1)A_1 + ( n-1)(n-2)\frac{A_2}{2!}+...+(n-1)(n-2)...(n-g)\frac{A_g}{g!};]

E isso já aprendemos no post anterior  "Progressão Aritmética de ordem Superior".

Aprendemos também que a derivada N [;p_1ue ap(n+1)-p(n);] de  [;p(n);] é:

[;p_1(n)=A_1 + (n-1)A_2+(n-1)(n-2)\frac{A3}{2!}+...+(n-1)(n-2)...[n-(g-1)]\frac{Ag}{(g-1)!};]

Assim, por indução inversa, concluímos que

[;\rfloor \lceil p(n) = P(n) = K + (n-1)A_0 + (n-1)( n-2)\frac{A_1}{2!}+...+ (n-1)(n-2)...[n-(g+1)]\frac{Ag}{(g+1)!};]
Logo,

[;\Sigma_1^n p(n) = \rfloor \lceil_1^{n+1}p(n)=[P(n)]_1^{n+1}=P(n+1)-P(1)=;]

[;=K+nA_0 + n(n-1)\frac{A1}{2!} + ...+n(n-1)(n-g)\frac{A_g}{(g+1)!};]

[;-;] ( menos )

[;K;]

  Assim, [;\Sigma_1^n p(n) = \rfloor \lceil_1^{n+1}p(n) =;] [;nA_0 + n(n-1)\frac{A1}{2!} + ...+n(n-1)(n-g)\frac{A_g}{(g+1)!;]

Como sub exemplo, suponha que [;p(n)=n^4 -5n^3+n-8;]. Pelo triângulo das variações ( ver post anterior ) achamos rapidamente os coeficientes [;A_i;] , usando, como auxiliar uma planilha tipo EXCEL, por exemplo. Se o grau da função polinomial é [;g=4;] calculamos os [;g+1=5;] primeiros termos desta função:

[;p(1)=-11;], [;p(2)=-30;], [;p(3)=-59;], [;p(4)=-68;] e [;p(5)=-3;]

                                        -11       -30       -59        -68         -3
                                             -19       -29        -9          65
                                                 -10         20        74
                                                         30         54
                                                               24

Pegamos, então, os coeficientes [;A_i;]  na diagonal da esquerda:

[;A_0=-11;], [;A_1=-19;], [;A_2=-10;],[;A_3=30;] e [;A_4=24;]
Portanto,

[;\Sigma_1^n \left(n^4-5n^3+n-8 \right) =;] 

[;= n.(-11)+n(n-1)\frac{-19}{2!} + n(n-1)(n-2)\frac{-10}{3!}+;]  

 [;+ n(n-1)(n-2)(n-3)\frac{30}{4!}+ n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)\frac{ 24}{5!};]

Ou, se preferirem, usando a notação de combinação [;(n,p);], temos

[;\Sigma_1^n \left(n^4-5n^3+n-8 \right)=;]

[;-11(n,1)-19(n,2)-10(n,3)+30(n,4)+24(n,5);] 

Em um futuro post, mostrarei como achar a soma dos [;n;] primeiros termos de [;a_n=sin(n);] usando a integral N. / N.E: Veja esta matéria em Somatórios Trigonométricos


6 comentários:

  1. Interessante este post. Ao invés do gama maiúsculo, eu uso delta maiúsculo elevado a menos um.

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    1. No papel eu utilizo um sinal de integral reticulado ( horizontal-vertical-horizontal, com as horizontais curtas e vertical alongada ).

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  2. Eu também.

    Excelente Post.
    Você já ouviu falar em Time Scales (escalas temporais)? É uma teoria recente que unifica o calculo contínuo e o discreto. A teoria tem uns 20 ou 30 anos.
    É bastante interessante e até que simples (relativamente simples, tem coisa mais difícil), além de estar dando artigos interessantes (li alguns).
    Obrigado pelo post, sempre adorei esse assunto.

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  3. Oi, Hugo, nunca ouvi falar. Tem alguns links?

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  4. Na parte de notas e referências do wikipedia tem alguns artigos.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Time_scale_calculus

    Um site sobre o assunto

    http://www.timescales.org/

    Esse artigo é bem legal:

    http://web.mst.edu/~bohner/papers/deotsas.pdf

    E um livro, que fala sobre hiperreais também, é legal (não terminei de ler ainda):

    http://mds.marshall.edu/etd/36/

    Em portugues temos:

    http://prope.unesp.br/xxii_cic/ver_resumo.php?area=100046&subarea=13058&congresso=30&CPF=38179586847

    http://www.sbmac.org.br/eventos/cnmac/xxxiii_cnmac/pdf/563.pdf

    Até +.

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