quarta-feira, 18 de janeiro de 2012

008-Logaritmo de número negativo?


O gráfico de uma função logaritma qualquer, seja ela crescente ou decrescente, é totalmente à direita do eixo [;Oy;]

Portanto, parece não ter sentido falar em logaritmos de números negativos.
Desta forma, é conveniente dizer que, por exemplo, [;ln(x);] é válido para [;x>0;]

Mas, no século [;XVIII;], os matemáticos gostavam de quebrar a cabeça com o seguinte paradoxo: 

[;log(-x)^2=log(+x)^2 \Rightarrow;] 

[;2log(-x) = 2log(+x) \Rightarrow;] 

[;log(-x)=log(x);]





Sendo, [;log(x);] representando o logaritmo de [; x;]em uma base real positiva  [;\neq 1;].

Coube a Leonhard Euler [;(1707-1783);] , o mais prolífero e criativo dos matemáticos, a palavra final sobre o assunto. Se [;x>0;], ele sabia que

[;log(-x)^2=2log|-x|=2log(+x) \neq 2log(-x)\Rightarrow log(+x) \neq log(-x);]

e procurou fornecer um significado que seja válido para [;log(-x);].

A representação da função definida por [;y=e^x;] por um polinômio de grau infinito ( série infinita ) foi crucial neste assunto. Desde a sistematização do Cálculo por Isaac Newton [;(1642-1727);] e Gottfried_Leibniz [;(1646-1716);]    sabia-se que [; \frac{d e^x}{dx}=e^x;] :a derivada de [;y=e^x;]  é a própria [;y=e^x;].

Se [;y=e^x;]  puder ser representada por um polinômio de grau infinito, podemos fazer

[;y=e^x=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...;]

[;\frac{d e^x}{dx}= e^x= a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+...;]

Igualando os coeficientes, temos

[;a_1=a_0;], [;2a_2=a_1;], [;3a_3=a_2;], [;4a_4=a_3;],...,

E todos os [;a_i;] podem ser dados em função de [;a_0;] da seguinte forma:

[;a_1=a_0;]

[;a_2=\frac{a_1}{2}=\frac{a_0}{2};]

[;a_3=\frac{a_2}{3}=\frac{a_0}{2}.\frac{1}{3}=\frac{a_0}{3!};]

[;a_4=\frac{a_3}{4}=\frac{a_3}{3!}.\frac{1}{4}=\frac{a_0}{4!};]

...etc
Logo,

[;y=e^x = a_0(1+x+\frac{x^2}{2!}+\fra{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\fra{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+..;] já que para [; x=0 \rightarrow a_0=1;].

Usando recursos infinitesimais, podemos provar não só a série para [;e^x;] como também as seguintes séries trigonométricas:

[;sen(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...;] e [;cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...;]

Com a mente não embotada pelos grilhões do rigor, Euler foi ousado em usar uma variável complexa nas séries geradas por [;e^x;], [;sen \left(x \right);] e [;cos(x);] e conseguiu excepcionais resultados com as seguintes manipulações:

   [;e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\fra{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...;]  [;\rightarrow;]     [;e^{ix}=1+(ix)+\frac{(ix)^2}{2!}+\fra{(ix)^3}{3!}+...;]

[;e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\fra{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}-...;]   [;\rightarrow;] [;e^{-ix}=1-(ix)+\frac{(ix)^2}{2!}-\fra{(ix)^3}{3!}+...;]

[;e^{ix}+e^{-ix}=2 \left [1+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^6}{6}+...\right]=2 \left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+... \right)=2cos(x);]

[;e^{ix}-e^{-ix}=2 \left [(ix)+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^5}{5!}+\frac{(ix)^7}{7!}+...\right]=2 \left (ix-i\frac{x^3}{3!}+i\frac{x^5}{5!}-i\frac{x^7}{7!}+...\right)=2isen \left(x \right);]

e as expressões resultantes [;cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2};] e [;isen \left(x \right)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2};] são conhecidas como IDENTIDADES DE EULER.

Somando as duas identidades, [;cos(x)+isen \left( x \right)=2.\frac{e^{ix}}{2}=e^{ix};] , obtemos uma das relações mais importantes da matemática ( FÓRMULA DE EULER ).

Em [;cos(x)+isen \left(x \right)=e^{ix};], [; x;] é um número real que representa um ângulo em radianos. Portanto [;x= \theta \pm 2 \pi k;], com [;0\leq \theta < 2\pi;] e [;k=1,2,3,...;].

Para [;x= \pi;], temos [;cos(\pi)+sen \left(\pi \right)=e^{i \pi}=-1+0i \Rightarrow e^{i \pi}=-1;]

E em relação ao logaritmo de um número negativo, nesta última expressão está o cerne da questão.
Além de produzir o belíssimo resultado [;e^{i \pi}+1=0;] ( onde são unificados os números mais importantes da matemática [;0;],[;1;],[;\pi;],[;e;] e [;i=\sqr{-1};] ), essa exótica identidade nos diz ainda que

[; ln(-1)=i \pi;]

Assim, Euler soluciona o mistério.O logaritmo de um número negativo não é real, mais sim, um número complexo:

Com [;x>0;]  , [;ln(-x)=ln[x.(-1)]=ln(x)+ln(-1)=ln(x)+i \pi;]

[;log_a (-x)=\frac{ln(-x)}{ln(a)}=\frac{ln(x)}{ln(a)}+\frac {\pi}{ln(a)}.i;]


APÊNDICE

1) Surgindo como mais uma pérola, a FÓRMULA DE EULER mostra que um número complexo elevado a um número complexo ([;z_1^{z_2};]) pode ser um número real! Na relação [;cos(x)+isen \left(x \right)=e^{ix};], fazendo [; x= \frac{ \pi}{2};], temos [; cos (\pi /2)+isen ( \pi/2)=0+1.i \Rightarrow i=e^{i.\pi/2};] . Elevando ambos os membros à [;i;] :

[;i^i=e^{(i.\pi/2).i ;][;\Rightarrow i^i=e^{- \pi/2};].

2) Mas, precisamente, existem infinitos valores complexos/reais, respectivamente, para [;ln(-x);] e [;i^i;] devido a periodicidade das funções trigonométricas envolvidas em função de [;\theta+2 \pi.k;].


REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA.

- Matemática para Economistas, de Taro Yamane, Editora Atlas, 1989.
- Cálculo com Geometria Analítica - Volume 2, de George F.Simmons, Editora McGraw-Hill,1988.
- Introdução a História da Matemática, de Howard Eves, Editora Unicamp, 1997.



9 comentários:

  1. Interessante o modo como podemos obter as séries infinitas das funções através das equações diferenciais e esta identidade de Euler, realmente é uma das mais belas da matemática. Veja este post http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/02/alguns-matematicos-com-suas-formulas.html

    Obs. Acrescentei também um link para o seu blog no Fatos Matemáticos, iniciando assim uma parceria link.

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  2. Vc tem algum link das séries por ED? A capacidade de Euler de criar era impressionante, conseguindo resultados que fugiam de seus conteporâneos. Fico muito satisfeito com a parceria com FATOS MATEMATICOS. Valeu!

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  3. Tenho alguns assuntos. Digite na caixa de pesquisa: a matemática de Euler, funções de bessel, binomio de newton e edo que você irá encontrar como deduzir o binomio de Newton através de EDO.

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  4. Olá Aloísio, muito boa postagem. Podemos ver muitas coisas: a explicação do logaritmo negativo; a identidade de Euler; mostra, como o Paulo disse, as séries infinitas. O melhor de tudo é perceber a capacidade de resolver problemas que o grande matemático Euler tinha, pondo um ponto final na história.

    Eu tinha feito um post com certa afinidade a este seu. Vou aproveitar e inserir o link:

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2010/07/demonstracao-da-identidade-de-euler.html

    Um abraço.

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  5. Muita interessante sua postagem sobre a identidade de Euler. Realmente existem muitas versões sobre as peripécias de Euler e cada divulgador matemático nos enriquece com a sua em particular. Fico honrado em fazer parceria com O BARICENTRO DA MENTE,que pra mim é TOP 10 e tem uma imensa experiência. Obrigado, amigo Kleber.

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  6. É impressionante como Euler de certo modo estava "acima" de seus contemporâneos, incluindo gente como Leibniz e Jean Bernoulli (que tinham pontos de vista diferentes sobre os lagaritmos - ma daí vem a genialidade de Euler ao fazer esta definição de logaritmo de número negativo e concilia as ideias dos dois). Um texto interessante sobre este tema está em "meu professor de matemática e outras histórias" de Elon Lages Lima.
    Pedro R.

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  7. Pedro, R, a capacidade de Euler de resolver problemas traduzia a síntese da sua genialidade, da sua capacidade para o trabalho e de seu imenso amor pela matemática. Tenho certeza que, mesmo longe da lousa e do estúdio ele fazia muitas elucubrações mentais e montava a estratégia de resolução de inúmeros problemas. Valeu a indicação do livro de Elon Lages Lima, vou tentar adquirí-lo.

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  8. Olá, Aloísio!!!!
    Belíssima e interessante postagem que você trás para esse carnaval!!!! Parabéns!!!!
    O Euler, ficou completamente cego, aos 59 anos, mas, se já se mostrava ser um gênio matemático antes desse fato, continuou a desenvolver mais genialidade, via as soluções mais do que todo mundo, pois a sua mente eram os seus olhos e então, nessa sua segunda parte existencial, foi capaz de produzir essas "pérolas" do cálculo como essas que você informa aqui na postagem nota mil!!!!
    Um abraço!!!!!

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  9. Oi, Valdir!

    Euler tinha muita capacidade de trabalho. Foi o "Thomas Edison" da matemática! Acredito que ele tinha memória fotográfica...

    Euler foi um explorador da selva matemática e corajosamente descobria novos caminhos enquanto registrava o achado em seus milhares de registros (mapas ).

    Valeu, amigo!

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