sábado, 28 de janeiro de 2012

012-Progressão Geométrica de Ordem Superior

 O nascer do sol é uma certeza física ou matemática?


Neste trabalho, quando a combinação [;{n-1 \choose p}=(n-1)(n-2)...(n-p).\frac{1}{p!};] for um expoente, utilizarei a expressão equivalente [;(n-1;p);], tendo em vista que  a potência [;A_1^{{n-1} \choose p};]pode ser confundido com uma multiplicação.

Antes de começarmos o estudo das progressões geométricas ([;PG;]) de ordens superiores, vamos recordar a definição clássica:

[;PG;] é uma sequência [;\mathbb{N^*}\rightarrow \mathbb{R};] onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se uma constante [;q;], chamada de razão, ao termo anterior.


[;a_1=a_1;]

[;a_2=a_1.q;]

[;a_3=a_2.q =a_1.q.q=a_1.q^2;]

..................................................................

[;a_n=a_{n-1}.q=a_1.q^{n-2}.q=a_1.q^{n-1};]

Avançando neste conceito, mostrarei que as progressões geométricas ordinárias fazem parte de uma grande família de sequências, onde uma PG de ordem superior depende das PG de ordens inferiores.

[;\rightarrow;] Substituirei as notações  [;a_n;] por [;g(n);] e [;a_1;] por [;A_0;] ou [;g(1);] porque estas sequências também receberão o mesmo tratamento dado as funções aritméticas. Já a notação de razão [;q;] substituirei por  [;A_1;] ou   [;g_{*1}(1);]  por motivos que ficarão claros ao longo do texto.

Assim, uma progressão geométrica ordinária é uma função aritmética [;\mathbb{N^*}\rightarrow \mathbb{R};], definido por [;g(n)=A_0.A_1^{n-1};].

CONCEITOS AUXILIARES

DERIVADA GEOMÉTRICA ou derivada [;G;] é uma operação aplicada em uma função aritmética qualquer  [;f(n);] ( [;f(m) \neq 0;] para qualquer [;m \in \mathbb{N^*};]), originando uma nova função aritmética [;f_{*1}(n);] definida por

[;f_{*1}(n)=\frac{f(n+1)}{f(n)};] 

Aplicada em uma PG, temos [;g_{*1}(n) =\frac{g(n+1)}{g(n)}=\frac{A_0.A_1^n}{A_0.A_1^{n-1}}= A_1^{n-(n-1)}=A_1=q=cte;]

Assim a derivada [;G;] de uma [;PG;] ordinária é uma função aritmética constante [;g_{*1}(n)=q;] cujo valor é a própria razão da mesma.


INTEGRAL GEOMÉTRICA ou integral [;G;] é a operação inversa da derivada [;G;], de forma que, se existir uma função aritmética definida por [;F(n);] , onde [;F_{*1}(n)=\frac{F(n+1)}{F(n)}=f(n);], então [;F(n);] é a integral [;G;] de [;f(n);]. Simboliza-se [;\Omega f(n)=F(n);] e [;\Omega_a^b f(n)=\left{F(n) \right}_a^b=\frac{F(b)}{F(a)};], onde [;a < b;] são considerados limites racionais.


PROGRESSÃO GEOMÉTRICA DE ORDEM [;K;] ou [;PG(k);] é uma função aritmética definida por

[;g(n)=A_0.A_1^{(n-1;1)}.A_2^{(n-1,2)}...A_k^{(n-1,k)};] ( 1 )

Com [;(n-1;p)={n-1 \choose p}=(n-1)(n-2)...(n-p).\frac{1}{p!};]  

e bases [;A_0;], [;A_1;],[;A_2;],...,[;A_k;] [;\in \mathbb {R};] e [;A_k \neq 1;].


TEOREMA

Se [;g(n);] é uma [;PG(k);] conforme ( 1 ), então sua derivada [;G;] é 

 [;g_{*1}(n)=A_1.A_2^{(n-1;1)}A_3^{(n-1;2)}...A_k^{(n-1;k-1)};]  ( 2 ) 

Comparando ( 1 ) e ( 2 ), vemos que:
 1) Se [;g(n);] tem ordem [;k;], então [;g_{*1}(n);] tem ordem [;k-1;].
 2) Os coeficientes de [;g_{*1}(n);] são os mesmos de [;g(n);], com exceção de [;A_0;], mas transladados de um fator para a esquerda.

DEMONSTRAÇÃO

[;g_{*1}(n)=\frac{g(n+1)}{g(n)}=;][;\frac{A_0}{A_0};] [;\frac{A_1^{(n,1)}}{A_1^{(n-1;1)};]  [;\frac{A_2^{(n,2)}}{A_2^{(n-1;2)};] [;...\frac{A_k^{(n,k)}}{A_k^{(n-1;k)}}=;]

[;= A_1^{(n,1)-(n-1;1)}.A_2^{(n,2)-(n-1;2)}...A_k^{(n,k)-(n-1;k)};]

Agora, lembrem-se que a soma de duas células consecutivas [;{m \choose p}+ {m \choose {p+1}};] do triângulo de Pascal resulta numa célula da linha seguinte e na mesma coluna [;p+1;], ou seja, [;{m \choose p}+ {m \choose {p+1}}= {{m+1} \choose {p+1}};] ( RELAÇÃO DE STIFFEL ). Fazendo [;m=n-1;] e [;p=k-1;] a relação fica
  [;{{n-1} \choose {k-1}}+ {{n-1} \choose k}= {n \choose k}\Rightarrow {n \choose k}-{{n-1} \choose k}={{n-1} \choose {k-1}}\Rightarrow (n,k)-(n-1;k)=(n-1;k-1);] 

Logo, temos ( 2 ): [;g_{*1}(n)=A_1.A_2^{(n-1;1)}A_3^{(n-1;2)}...A_k^{(n-1;k-1)};]


NOTAÇÃO DAS DERIVADAS [;G;] SUCESSIVAS DE [;g(n);]

 [;g_{*1}(n);], PG de ordem [;k-1;], é o resultado da aplicação da derivada [;G;] em [;g(n);], PG de ordem [;k;];
[;g_{*2}(n);], PG de ordem [;k-2;], o resultado da aplicação da derivada [;G;] em [;g_{*1}(n);], PG de ordem [;k-1;];
...................................................................................................................................
[;g_{*i}(n);], PG de ordem [;k-i;], o resultado da aplicação da derivada [;G;] em [;g_{*(i-1)}(n);], de ordem PG [;k-(i-1);];
....................................................................................................................................
[;g_{*(k-1)}(n);], PG de ordem [;k-(k-1)=1;], o resultado da aplicação da derivada [;G;] em [;g_{*(k-2)}(n);], PG de ordem [;2;].
Neste caso, [;g_{*(k-1)}(n);] [;=A_0.A_1^{(n-1;1)}=A_0.A_1^{n-1};] 
Assim, [;g_{*k}(n);], é uma PG de ordem [;0;], o resultado da aplicação da derivada [;G;] em [;g_{*(k-1)}(n);], PG de ordem [;1;].

Portanto,[;g_{*k}(n)=A_0=cte;]. E para todo [;i>k;] temos [;g_{*i}(n)=1;].


 INVESTIGAÇÃO  DAS BASES  [;A_0;], [;A_1;],[;A_2;],...,[;A_k;].

Para [;n=1;], temos [;(n-1;p)=0;], visto que [;(n-1);] é fator de [;(n-1;p)={n-1 \choose p}=(n-1)(n-2)...(n-p).\frac{1}{p!};]. Em consequência, os valores das bases  [;A_0;], [;A_1;],[;A_2;],...,[;A_k;], são calculados conforme a seguir.

[;g(n)=A_0.A_1^{(n-1;1)}.A_2^{(n-1,2)}...A_k^{(n-1,k)}\Rightarrow g(1)=A_0;]

[;g_{*1}(n)=A_1.A_2^{(n-1;1)}.A_3^{(n-1,2)}...A_k^{(n-1;k-1)}\Rightarrow g_{*1}(1)=A_1;]

[;g_{*2}(n)=A_2.A_3^{(n-1;1)}.A_4^{(n-1,2)}...A_k^{(n-1;k-2)}\Rightarrow g_{*2}(1)=A_2;]

 ...............................................................................................................
[;g_{*i}(n)=A_i.A_{i+1}^{(n-1;1)}.A_{i+2}^{(n-1,2)}...A_k^{(n-1;k-i)}\Rightarrow g_{*i}(1)=A_i;]
...............................................................................................................

[;g_{*k}(n)=A_k \Rightarrow g_{*k}(1)=A_k;]

E [;g(n);] pode ser reescrita como

[;g(n)=g(1).[g_{*1}(1)]^{(n-1;1)}.[g_{*2}(1)]^{(n-1,2)}...[g_{*k}(1)]^{(n-1,k)};]

[;\rightarrow;] O que acabamos de ver pode ser esclarecido no seguinte EXEMPLO. Seja a [;PG(3);] definido por [;g(n)=A_0.A_1^{(n-1;1)}.A_2^{(n-1;2)}.A_3^{(n-1;3)};]. Se seus [;k+1=3+1=4;] valores iniciais são [;g(1)=5;], [;g(2)=5;], [;g(3)=15;] e [;g(4)=270;], podemos fazer um triângulo numérico onde a razão entre duas células consecutivas ( direita pela esquerda ) de uma mesma linha resulta na célula do meio da linha inferior. Veja:

[;5;]             [;5;]           [;15;]         [;270;] [; \rightarrow;] primeiros [;4;] valores de [;g(n);]
      [;1;]              [;3;]           [;18;] [;\rightarrow;] primeiros [;3;] valores de [;g_{*1}(n);]
              [;3;]             [;6;] [;\rightarrow;]  primeiros [;2;] valores de [;g_{*2}(n);], lembrando que se trata de uma PG comum.
                     [;2;] [;\rightarrow;] primeiro valor de [;g_{*3}(n)=cte;] por ser a razão [;q;] de uma PG comum.

Pegamos, então, as bases [;A_0;] ,[;A_1;], [;A_2;] e [;A_3;] na diagonal esquerda deste triângulo numérico:

[;A_0=g(1)=5;], [;A_1=g_{*1}(1)=1;], [;A_2=g_{*2}(1)=3;] e [;A_3=g_{*3}(1)=2;]

 Logo,[;g(n)=5.3^{(n-1;2)}.2^{(n-1;3)};]

[;\rightarrow;] [;\rightarrow;] Curiosidade!: a função aritmética finita cujos valores são [;f(1)=1;], [;f(2)=2;] e [;f(3)=3;] , tanto pode ser definida por [;p(n)=n;] como por [;g(n)=2^{(n-1;1)}0,75^{(n-1;2)};], com [;1\leq n \leq 3;], caracterizando uma progressão aritmética de primeira ordem ( [;PA(1);] ) no primeiro caso ou uma progressão geométrica de seguda ordem [;PG(2);] ), no segundo caso. No entanto, se [;n>3;], enquanto [;p(4)=4;], por sua vez, [;g(4)=3,375;], ou seja, cada progressão segue seu caminho de acordo com sua natureza. Mas, dado [;s \in \mathbb{N};], pode-se mostrar que a sequência [;(1,2,3,4,...,s-3,s-2,s-1,s);]pode ser os primeiros [;s;] valores de uma [;PG;] de ordem [;s-1;], por maior que seja [;s;], com a seguinte armadilha: [;g(s+1) \neq s+1;]!!. Será que na natureza existem funções enganadoras como esta? Espero que não porque quero continuar tendo a certeza de que o sol nascerá amanhã....


PRODUTO DOS [;n;] PRIMEIROS TERMOS DE UMA FUNÇÃO ARITMÉTICA 

Seja [;f(n);] uma função aritmética qualquer. Se existir [;F(n);]( [;F(m) \neq 0;]) tal que, [;f(n)=\frac{F(n+1)}{F(n)};]. Então

[;\Pi_n=f(n).f(n-1)f(n-2)...f(3).f(2)f(1)=\frac{F(n+1)}{F(n)}.\frac{F(n)}{F(n-1)}.\frac{F(n-1)}{F(n-2)}...\frac{F(4)}{F(3)}.\frac{F(3)}{F(2)}.\frac{F(2)}{F(1)};] 

E, após o cancelamento de numeradores com denominadores iguais,concluímos que

[;\Pi_n=\frac{F(n+1)}{F(1)}=\Omega_1^{n+1} f(n);]

ou seja, o produto dos [;n;] primeiros termos ( [;\Pi_n;]); de uma função aritmética qualquer [;f(n);] é a integral [;G;] desta sequência [;\Omega f(n);]entre os limites racionais [;n+1;] e [;1;].


PRODUTO DOS [;n;] PRIMEIROS TERMOS DE UMA [;PG(k);] 

Se a derivada [;G;] de [;g(n)=A_0.A_1^{(n-1;1)}.A_2^{(n-1,2)}...A_k^{(n-1,k)};] é

[;g_{*1}(n)=A_1.A_2^{(n-1;1)}A_3^{(n-1;2)}...A_k^{(n-1;k-1)};] 

então, por indução inversa, podemos dizer que a integral [;G;] de [;g(n);] é

[;\Omega g(n)=;][;G(n)=;][;\alpha.A_0^{(n-1;1)}A_1^{(n-1;2)}...A_k^{(n-1;k+1)};] 

onde [;\alpha;] é uma constante real arbitrária., Logo, como [;G(1)= \alpha;] , temos


[;\Pi_n=\Omega_1^{n+1}g(n)=;][;\frac{G(n+1)}{G(1)}=;][;\frac{\alpha. A_0^{(n;1)}.A_1^{(n;2)}...A_k^{(n;k+1)}}{\alpha}\Rightarrow;] 

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