segunda-feira, 6 de fevereiro de 2012

015-O Círculo Redutor e a Conjectura de Hunasses

O CÍRCULO REDUTOR


Essa questão foi sugerida por Paulo de Tarso Ramos, de Belo Horizonte / MG.
Devido a sua complexidade, coloco como desafio aos leitores.  
Soluções enviar para teixeira.aloisio@gmail.com

1) Considere [;n;] pessoas dispostas em círculo. Estas pessoas são numeradas de [;1;] a [;n;] no sentido horário. Você é o número [;1;].

2) A partir de uma determinada pessoa, conte de [;1;] até [;10;], também no sentido horário. Aquela pessoa na qual a contagem terminar é eliminada do círculo.

3)  Recomece o mesmo processo de contagem e eliminação a partir da próxima pessoa, vizinha da eliminada, sempre no sentido horário.

4) Faça assim, sucessivamente, até sobrar uma única pessoa.

[;\rightarrow;]  Qual o número [;m;] da pessoa que se deve começar o processo de contagem de forma que ao final sobre apenas o número [;1;]? Expressar [;m;] em função de [;n;] ( fórmula ou regra ).

Questão resolvida em A Resolução do Círculo Redutor.


A CONJECTURA DE HUNASSES 


Um resultado interessante de Hunasses Souza, de Fortaleza / CE. É uma relação entre os números primos e os compostos.

Considere as sequências dos números primos ímpares [;P_n;] e dos números compostos [;C_m;] a seguir.

[;P(3,5,7,11,13,17,19,...);]                           [;C(4,6,8,9,10,12,14,..);]

Se [;m=P_n - (n+1);], então [;P_n=C_m-1;]

Exemplo: [;P_4=11;]e [;m=11-(4+1)=6;] [;\rightarrow;] [;P_4=C_6-1=12-1=11;] 

[;\rightarrow;] Provar que a conjectura de Hunasses é um teorema.

Questão resolvida em Miscelânea.



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Imagem1: br.freepik.com/vetores-gratis/homem-vector-circle_386733.htm
Imagem 2: ocantinhodaprofteresa.blogspot.com/

4 comentários:

  1. Oi Teixeira! Flávio Josefo(aportuguesado), historiador judeu, conta que no I século estava ele e mais 40 seguidores escondidos das tropas de Vespasiano e resolveram se suicidar usando o processo acima contando de três em três, consta que Flávio e mais um sobreviveram. Perguntava o livro que li: Quais as posições dos sobreviventes? Não verifiquei se era verdade, mas o livro dizia que as posições eram os dois números que indicam as horas que você escreveu este artigo ou seja 16 e 31. Obrigado

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  2. Cara, agora fiquei de queixo caído com esta tremenda coincidência!!

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  3. Seja Pn o enésimo primo do conjunto P acima. Então Pn+1 é composto e podemos dizer Pn+1=Cm para algum m. Vamos calcular m: Até Pn há Pn-2 números que são ou primos ou compostos, como Pn é o enésimo primo então há até Pn, (Pn-2-n)números compostos logo o próximo número composto depois de Pn tem número de ordem m=(Pn-2-n) + 1=Pn-(n+1). De certa forma tomei o caminho inverso mas creio válida a demonstração.

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  4. Parabéns, amigo Tavano! Demonstração correta! Como percebeu, é só uma questão de relacionamento de índices. A sua solução será enfatizada neste blog. Obrigado pela participação. Fiquei ligado no seu debate com o Kleber sobre questões geométricas. Tem muitas boas idéias e estamos a disposição se quizer repassá-las ao público.

    Uma grande abraço!

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