quarta-feira, 12 de setembro de 2012

070-Progressão Mista

A álgebra é generosa: freqüentemente ela dá mais do que se lhe pediu.

D'Alembert  



Definição

Dados
 
[;a_1 \in \mathbb{R};]

[;q;] [;\in \mathbb{R}-\left{1,0 \right};] 

 [;r;] e [;r^';] [;\in \mathbb{R}-\left{0 \right};] 

progressão mista é a sequência numérica [;f:\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{R};] , onde

Cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior vezes uma constante [;q;] e mais uma constante [;r;], ou seja
[;a_n=a_{n-1}q+r;]

Ou então, cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior mais uma constante [;r^';] e vezes uma constante [;q;], ou seja,
[;a_n=(a_{n-1}+r^')q;]

As constantes [;q;] e [;r;] ( ou [;r^';] ) são denominadas razão multiplicativa e aditiva da progressão mista, respectivamente.

O segundo conceito é equivalente ao primeiro, pois temos

[;a_n=(a_{n-1}+r^')q=a_{n-1}q+r^'q;], com

[;r=r^'q;] 

Logo, para cada [;r;] onde [;a_n=a_{n-1}q+r;], existirá um [;r^';] tal que [;a_n=(a_{n-1}+r^')q;]. De fato, pois [;r^'=\frac{r}{q};].

Adotaremos a primeira definição com  [;a_n=a_{n-1}q+r;].

Exemplo

Sejam [;a_1=3;], [;q=2;] e [;r=14;].

Formaremos os quatro primeiros termos da progressão mista de duas formas: com [;r=14;] e com [;r^'=\frac{r}{q}=\frac{14}{2}=7;].  

[;a_1=3;] 
[;a_2=a_1.2+14= 3.2+14=20;]  ou [;a_2=(a_1+7).2=(3+7).2=20;]
[;a_3=a_2.2+14=20.2+14=54;] ou [;a_3=(a_2+7).2=(20+7).2=54;]
[;a_4=a_3.2+14=54.2+14=122;] ou [;a_4=(a_3+7).2=(54+7).2=122;] 

Cálculo das razões [;q;] e [;r;]

 Do sistema

[;a_{n+1}=a_nq+r;] 

           [;a_{n}=a_{n-1}q+r;]   

tiramos 

 [;a_{n+1}-a_n=q(a_n-a_{n-1}) \Rightarrow;] 

[;q=\fra{a_{n+1}-a_n}{a_n-a_{n-1}};]

 com

[;r=a_{n+1}-a_n.q;]

 ( fornecida pela primeira equação do sistema )

Assim, precisamos de três termos consecutivos [;a_{n-1};], [;a_n;] e [;a_{n+1};] para acharmos as razões [;q;] e [;r;] da progressão mista.

Exemplo

Calcular as razões da progressão mista [;(4,17,56,...);]. Temos, então, [;a_1=3;], [;a_2=17;] e [;a_3=56;]. Logo,

[;q=\frac{a_3-a_2}{a_2-a_1}=\frac{56-17}{17-3}=\frac{39}{13}=3;] 

[;r=a_3-a_2.q=56-17.3=56-51=5;] 

Sendo possível estes cálculos, concluímos que, dados três números quaisquer que não estejam em [;PA;] ou [;PG;], então estes números sempre farão parte de uma progressão mista.

Fórmula do termo geral

Pela relação  [;a_n=a_{n-1}q+r;] , temos

[;a_2=a_1q+r;] 

[;a_3=a_2q+r=(a_1q+r)q+r=a_1q^2+qr+r;] 

[;a_4=a_3q+r=(a_1q^2+qr+r)q+r=a_1q^3+q^2r+qr+r;] 

[;a_5=a_4q+r=(a_1q^3+q^2r+qr+r)q+r=a_1q^4+q^3r+q^2r+qr+r;] 

[;..................................................................................................................;][;..............................;] 

[;a_n=a_1q^{n-1}+(q^{n-2}+q^{n-3}+...+qr+1).r \Rightarrow;]

[;a_n=a_1q^{n-1}+\left(\frac{q^{n-1}-1}{q-1} \right).r;]

Exemplos

Assim, a sequência do primeiro exemplo [;(3,20,54,...);], com [;a_1=3;],[;q=2;] e [;r=14;] fica

[;a_n=3.2^{n-1}+\left(\frac{2^{n-1}-1}{1}\right).14;]

Enquanto que a sequência do segundo exemplo  [;(4,17,56,...);], com [;a_1=3;], [;q=3;] e [;r=5;] tem a forma

[;a_n=3.3^{n-1}+\left(\frac{3^{n-1}-1}{2}\right).5;]

Considerações sobre o termo geral - forma sintética

Com um pequeno rearranjo,  a fórmula [;a_n=a_1q^{n-1}+\left(\frac{q^{n-1}-1}{q-1} \right).r;] se transforma em

[;a_n=\left[\frac{a_1}{q}+\frac{r}{q(q-1)}\right].q^n-\frac{r}{q-1};]

 e chegamos a forma sintética [;a_n=A.B^n+C;], com

[;A=\left[\frac{a_1}{q}+\frac{r}{q(q-1)}\right];], [;B=q;] e [;C=-\frac{r}{q-1};] 

Na forma sintética, temos

[;a_1=AB+C;]  , [;a_2=AB^2+C;] e [;a_3=AB^3+C;]

Assim,
[;q=\frac{a_3-a_2}{a_2-a_1}=\frac{(AB^3-C)-(AB^2+C)}{(AB^2+C)-(AB+C)} \Rightarrow;] 

[;q=B;]

[;r=a_3-a_2.q=(AB^3+C)-(AB^2+C).B \Rightarrow;]

[;r=-(B-1)C;] 

Exemplos ( [;a_n=AB^n+C;] )

[;a_n=2^n+1 \rightarrow (3,5,9,...);], com [;A=1;], [;B=2;] e [;C=1;]

[;q=B=2;]

 [;r=-(B-1)C=-(2-1)1=-1;]



[;a_n=2^n-1 \rightarrow (1,3,7...);], com [;A=1;], [;B=2;] e [;C=-1;] 

[;q=B=2;]

[;r=-(B-1)C=-(2-1)(-1)=1;] 



[;a_n=2.3^n+4 \rightarrow (10,22,58...);], com [;A=2;], [;B=3;] e [;C=4;]

[;q=B=3;]

[;r=-(B-1)C=-(3-1)(4)=-8;]

Curiosidades

A fórmula que fornece a soma dos [;n;] primeiros termos de uma progressão geométrica ([;PG;]), de primeiro termo [;a_1;]  e razão [;q \neq 1;], ou seja, [;S_n=a_1.\frac{q^n-1}{q-1};], é o enésimo termo de uma progressão mista. De fato,

[;b_n=S_n=\frac{a_1}{q-1}.q^n-\frac{a_1}{q-1}=A.B^n+C;]

com [;A=\frac{a_1}{q-1};], [;B=q;] e [;C=-\frac{a_1}{q-1};] , sendo

[;b_1=a_1;]

 [;q=B=q;]  

[;r=-(B-1)C=-(q-1)\left(-\frac{a_1}{q-1} \right)=a_1;]



A sequência constante [;(1,1,1,...);] pode ser interpretada como uma progressão mista com [;a_1=1;], [;q=sen^2(\alpha);] e [;r=cos^2(\alpha);] ou vice-versa, sendo que estas razões não são únicas. Qual forma geral destas razões para [;(k,k,k,...);]?

Sugestão de pesquisa

Qual o processo de formação da sucessão numérica gerada pelo termo geral

 [;a_n=A.B^{n^2}+C.D^n+E;] ?


Gostará de ler também:


Referência bibliográfica: Coleção Fundamentos de Matemática Elementar-V4.

Imagem: http://www.fractal.org/Fractal-tree-scaffold.htm

4 comentários:

  1. Oi Teixeira!Suponhamos que eu tome um empréstimo de a0 reais em n prestações mensais a uma taxa de i% ao mês e os juros correm todo mês. Eu pago todo mês uma prestação de r reais. Qual a dívida que eu tenho em cada mês? Seja q=1+i/100, a dívida do primeiro mês é a1=a0q - r, a dívida do segundo mês é a2=a1q - r. Se não soubermos o valor da prestação para calcularmos basta igualar a dívida a zero no termo geral. abçs

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  2. Oi, Tavano!

    Muita boa esta aplicação de progressão mista. Seu comentário foi um complemento essencial ao post.

    Desconfio que, se existisse fórmula fechada para a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de segunda ordem, então ela seria parecida com a equação da sugestão para pesquisa que dei ao final do artigo.

    Sobre soma de dois quadrados da forma a^2+b^2=4k+1, me enganei a respeito do livro que tenho, pois eram apenas teoremas de existência. Mas no blog FATOS MATEMATICOS, temos uma matéria interessante sobre isto.

    Veja em http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/02/representacao-dos-naturais-como-soma-de.html.

    O artigo também foi publicado no Carnaval UBM 14.

    Valeu, um abraço.

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    1. Caro Teixeira! Embora o blog indicado não tenha a resposta, como sempre no "FATOS MATEMÁTICOS" aprendi muito sobre o assunto (a^2+b^2=P). O motivo da pergunta é que eu tinha desenvolvido um método para achar "a" e "b" e embora não tivesse conseguido demonstrá-lo estava convencido de que funcionava, ontem percebi o porquê, achei um contraexemplo para p=89. O método era interessante: Dado p=4k+1 (por exemplo 41) eu devia encontrar j tal que j^2+1==0(mód p)(para p=41, j=9)encontrado j (um pouco difícil e trabalhoso) eu dividia p por j e o quociente e o resto dessa divisão eram o "a" e o "b" (no caso para 41=9.4 + 5=>4^2 + 5^2=41) Talvez ainda dê para consertar. Obs há dois "jotas" toma-se o menor. Obrigado pelo espaço. Abçs.

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  3. O latex não tá funcionando! :O

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