terça-feira, 16 de outubro de 2012

078-Fórmulas de Bhaskara e Cardano Pelas Relações de Girard-Método de Tavano

 

Nos livros escolares encontram-se alguns exemplos do uso das relações de Girard na resolução de casos particulares das equações de   e  graus.

Se fazemos um sistema com as relações de Girard para resolver as equações quadráticas e cúbicas, isentas de condições especiais, recairemos novamente nas mesmas equações quadráticas e cúbicas, certo? Este é um pensamento comum, mas depende do modo de como usamos estas relações.

Neste artigo veremos que as relações de Girard são suficientes para resolverem as equações e e acredito que também resolvam a equação quártica, de modo geral.

Primeiramente, vamos ver o modo errado de usar Girard, ou seja, o modo que não reduz o problema.

Dado a equação , temos as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes e :



 

Então temos um sistema em duas variáveis e . Da primeira equação tiramos e substituindo na segunda equação:


 


E voltamos a estaca zero, pois retornamos à equação quadrática.


FÓRMULA DE BHASKARA, usando Girard 

Agora, a maneira correta de utilizarmos estas relações.  Montamos o seguinte sistema:


 


Soma das raízes:

produto das raízes:  

Substituindo nesta segunda equação, temos

Então,

E retornando com os valores   e  , encontramos que é a nossa conhecida fórmula de Baskhara.

Interessante observar que não foi cogitado o complemento do trinômio quadrado perfeito, o que é de praxe nos livros escolares.


FÓRMULA DE CARDANO  

Para resolver a equação [;Ay^3+By^2+Cy+D=0;], primeiramente, com a substituição [;y=x-\frac{B}{3A};], obtemos a equação transformada simplificada [;x^3+ax+b=0;].

[;\rightarrow;] Agora, utilizarei um belo estratagema que me foi fornecido pelo leitor e habitual colaborador Antonio Carlos Tavano de São Paulo-SP.

Da equação [;j^3-1=(j-1)(j^2+j+1)=0;] , escolhemos [;j;] como sendo uma das raízes cúbicas complexas do número [;1;]. Portanto,

[;j^3=1;] 

[;j^2+j+1=0;] 

Montamos, então, o seguinte sistema nas variáveis auxiliares [;p;] e [;q;] :

[;p+q=x_1;] 

[;pj+qj^2=x_2;] 

[;pj^2+qj=x_3;]

onde [;x_1;], [;x_2;] e [;x_3;] são as raízes de [;x^3+ax+b=0;]. Agora, pelas relações de Girard, temos

[;x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=a;]

[;x_1x_2x_3=-b;] 

Desenvolvendo a primeira relação usando o sistema, obtemos

[;x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=a \Rightarrow;]

[;(p+q)(pj+qj^2)+(p+q)(pj^2+qj)+(pj+qj^2)(pj^2+qj)=a \Rightarrow;] 

[;p^2j+pqj^2+pqj+q^2j^2+;]

[;+p^2j^2+pqj+pqj^2+q^2j+;]

[;+p^2j^3+pqj^2+pqj^4+q^2j^3;]

[;=a;] 

Lembrando que [;j^4=j^3.j=1.j=j;] , prosseguimos,

[;p^2j(j^2+j+1)+3pq[(j^2+j+1)-1]+q^2j(j^2+j+1)=a \Rightarrow;]

[;0+3pq(0-1)+0=a \Rightarrow;] 

[;-3pq=a;] (1)

Desenvolvendo a segunda relação usando o sistema, obtemos

 [;x_1x_2x_3=-b \Rightarrow;] 

[;(p+q)(pj+qj^2)(pj^2+qj)=-b \Rightarrow;] 

[;(p^2j+pqj^2+pqj+q^2j^2)(pj^2+qj)=-b \Rightarrow;] 

[;p^3j^3+p^2qj^4+p^2qj^3+pq^2j^4+p^2qj^2+pq^2j^3+pq^2j^2+q^3j^3=-b ;]

Lembrando que [;j^3=1;]  e [;j^4=j^3.j=j;], prosseguimos

[;p^3+;]

[;+p^2qj+p^2q+;] 

[;+pq^2j+p^2qj^2+;] 

[;+pq^2+pq^2j^2+;] 

[;q^3=-b \Rightarrow;]

[;p^3+;]

[;+p^2q(j^2+j+1-1)+pq^2(j^2+j+1-1)+p^2q+pq^2+;]

[;q^3=-b \Rightarrow;] 

[;p^3-p^2q-pq^2+p^2q+pq^2+q^3=-b \Rightarrow;] 

[;p^3+q^3=-b;] (2)

Chegamos então a  conhecida fórmula de Cardano através das relações


[;-3pq=a;] (1)

 [;p^3+q^3=-b;] (2)

De (1), tiramos [;q=-\frac{a}{3p};]  e substituindo em (2), temos

[;27p^6+27bp^3-a^3=0;]

que é uma equação quadrática em [;p^3;]. Então achamos [;p;] e depois [;q;] por (2).

O mérito de se deduzir a fórmula de Cardano usando as relações de Girard pelo método de Tavano é que, escolhendo uma das raízes cúbicas complexas de [;1;], por exemplo [;j=-1/2+(\sqr{3}/2)i;], então as três raízes da equação [;x^3+ax+b=0;] são fornecidas individualmente por intermédio do sistema

[;p+q=x_1;] 

[;pj+qj^2=x_2;] 

[;pj^2+qj=x_3;] 

E finalmente, pela relação [;y=x-\frac{B}{3A};], obtemos todas as raízes da cúbica geral

 [;Ay^3+By^2+Cy+D=0;]


Imagens: - http://giga-mat.blogspot.com.br/2007/08/bhaskara.html
              - http://www.pokertime.eu/blog/Cardamos-book-Book-on-Games-of-Chance/
              -http://www.profcardy.com/matematicos/individuos.php?pid=48  
              -http://textosdeumadiva.blogspot.com.br/2010_12_01_archive.html

6 comentários:

  1. Olá, Aloiso. Estou tentando ler, mas meu leitor de latex não esta funcionando direito. O senhor usar qual?

    Abraços

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  2. Oi, Vinicius, as fórmulas que uso são melhor visualizadas no navegador Mozilla Firefox.

    Obrigado pela visita.

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    1. Olá,
      Uso o Firefox e nem assim não consigo visualizar.
      Alguma idéia de como resolver o problema?
      Abs

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  3. Oi, Teixeira! Estive ausente. Não creio que meu nome seja digno de estar entre esses figurões mas ficou bonitinho, até rimou (Cardano X Tavano). Se tenho algum mérito devo dividi-lo com você. A ideia me surgiu ao ver seu post anterior. Veja: você escreveu x1=a+b e x2=a-b ambos têm a forma a+xb onde x é uma das raízes quadradas de "1". Para a cúbica geral podemos fazer x1=a+b+c; x2=a+bj+cjj e x3=a+bjj+cj, então teremos x1+x2+x3=3a, obtemos o valor de "a"; x1x2+x1x3+x2x3=3a^2-3bc; obtemos o valor de "bc" e finalmente x1x2x3=a^3+b^3+c^3-3abc; obtemos o valor de "a^3+b^3" e caímos de novo em Cardano. Para a quártica talvez se tenha algo como x1=a+b+c+d; x2=a+bi-c-di etc. Obrigado! Você talvez não saiba mas está tirando um peso das minhas costas.

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    1. Errata: Acima onde se lê: "obtemos o valor de a^3 + b^3". leia-se:"obtemos o valor de b^3 + c^3.

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  4. Oi, Tavano!

    Interessante é que na equação reduzida ax^3+.bx+c=0, o mais simples sistema x1=p+qi, x2=p-qi e x=- 2p não resolve.

    Mas seu método, nem Tartaglia e nem Girard chegaram a pensar nisso porque naquela época, a teoria dos números complexos não estava desenvolvida.

    Mas e Euler e Gauss? Chegaram à perceber? Não sei.

    Este seu sistema com três variáveis a, b e c também é muito interessante.

    Mais uma vez obrigado e parabéns!

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