Quais as condições para que o produto de dois números naturais seja divisível pela soma dos mesmos? Algebricamente, dados 
, 
e 
, com 
e 
, quando é possível a igualdade
Vamos responder esta pergunta provando que esta equação tem solução em 
para todo e qualquer valor natural de 
não nulo. O meio pelo qual faremos isto é resolvendo-a, de fato. Então o formato das soluções nas variáveis 
e 
, em função da constante , fornecerá as condições de existência da igualdade. Curiosamente, as soluções dependem dos divisores de 
.
Começamos fazendo o produto dos meios pelos extremos de (1). Em seguida, isolamos as variáveis no primeiro membro. Chegamos a
Agora faremos um artifício de fatoração, somando e subtraindo do primeiro membro a potência .
Colocando em evidência e e colocando 
para o segundo membro, temos
Por sua vez, colocamos 
em evidência.
A equação (2) é equivalente a equação (1) com a ressalva .
Concluímos que e 
são divisores complementares de . Designaremos estes divisores por 
e 
, ou seja, 
. Assim, 
e 
. Logo,
Exemplo 1. Seja 
um primo onde 
. As soluções naturais para esta equação são geradas pelas igualdades
Pelo conjunto dos divisores naturais de 
, ou seja,
temos que
Assim o conjunto solução de é
Com isso, verifica-se que a equação 
só admite três soluções em , se for primo.
Exemplo 2. Resolver a equação 
.
Temos 
, logo
E as soluções restantes são os pares com as coordenadas trocadas.
Conclusão: a equação sempre tem soluções em e o número delas é o número de divisores de . E ainda, admite as soluções triviais 
, 
e 
.
Observação. A equação em é um caso particular da equação mais geral 
em 
, estudada nos artigos 001 - Uma Equação Diofantina Especial e 006 - Uma Equação Diofantina Especial - II .
