quarta-feira, 11 de janeiro de 2012

003-Integral Natural e Somatórios

DEDICATÓRIA 



Dedico esse post a União dos Blogs de Matemática ( ), http://ubmatematica.blogspot.com/, do qual agora sou filiado. Da iniciativa do professor Paulo Sérgio e Kleber Kilhian, a prima pela excelência e seriedade, levando aos amantes da matemática uma riqueza de conhecimentos condensados. Eu diria que, se a tivesse um patrono, sem dúvidas seria o frade Minimita Marin Mersenne ( ), um grande difusor de matemática da época.



INTEGRAL NATURAL E SOMATÓRIOS

O método de soma exposto a seguir desenvolvi em , quando tinha anos. Somente  há poucos anos vi algo parecido no livro "Manual de Sequências e Séries - Volume I", Rio de Janeiro, ,  de Luís Lopes, pela Editora QED TEXTE, onde o autor chama a operação de DIFERENÇA FINITA.

No artigo anterior, nós vimos o conceito de derivada natural  aplicável a uma sequência qualquer.
Se temos uma sequência    definida por , sua derivada N será definida por


Em contrapartida, se acharmos uma função tal que , então é a INTEGRAL NATURAL ou integral N de . Simbolizo por . Assim, 

 tal que 

A variação de  nos limites   e , onde   e  são inteiros positivos com , será representada por


Como a integral N limitada se relaciona com o somatório  ? É o que veremos a seguir. 


TEOREMA:  


Demonstração:  Se existir uma sequência definida por  tal que  então poderemos somar os termos   de  a  como se segue:

 




 já que todas as parcelas se anulam com exceção da primeira e da última.


Mas, por definição,   e, portanto, 


Aplicação 1:  Achar a soma de uma progressão geométrica  de termo genérico  sendo a razão .
Solução: multiplicando  por  obtemos

 
Veja que  fica no formato  com 


Portanto,



Aplicação 2: Achar  a soma dos n primeiros termos da sequência definida por

, com 
Solução: Observem que  é um polinômio de grau . Para facilitar a soma, teremos que colocar o termo genérico no formato


E isso já aprendemos no post anterior  "Progressão Aritmética de ordem Superior".

Aprendemos também que a derivada N  de   é:


Assim, por indução inversa, concluímos que

Logo,




  Assim,  


Exemplo. Suponha que . Pelo triângulo das variações ( ver post anterior ) achamos rapidamente os coeficientes  . Se o grau da função polinomial é  calculamos os  primeiros termos desta função:

 e 

                                        -11       -30       -59        -68         -3
                                             -19       -29        -9          65
                                                 -10         20        74
                                                         30         54
                                                               24

Pegamos, então, os coeficientes   na diagonal da esquerda:

, e 
Portanto,

 

  

 

Ou, se preferirem, usando a notação de combinação , temos



 

Em um futuro post, mostrarei como achar a soma dos  primeiros termos de  usando a integral N. / N.E: Veja esta matéria em Somatórios Trigonométricos


6 comentários:

  1. Interessante este post. Ao invés do gama maiúsculo, eu uso delta maiúsculo elevado a menos um.

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    1. No papel eu utilizo um sinal de integral reticulado ( horizontal-vertical-horizontal, com as horizontais curtas e vertical alongada ).

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  2. Eu também.

    Excelente Post.
    Você já ouviu falar em Time Scales (escalas temporais)? É uma teoria recente que unifica o calculo contínuo e o discreto. A teoria tem uns 20 ou 30 anos.
    É bastante interessante e até que simples (relativamente simples, tem coisa mais difícil), além de estar dando artigos interessantes (li alguns).
    Obrigado pelo post, sempre adorei esse assunto.

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  3. Oi, Hugo, nunca ouvi falar. Tem alguns links?

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  4. Na parte de notas e referências do wikipedia tem alguns artigos.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Time_scale_calculus

    Um site sobre o assunto

    http://www.timescales.org/

    Esse artigo é bem legal:

    http://web.mst.edu/~bohner/papers/deotsas.pdf

    E um livro, que fala sobre hiperreais também, é legal (não terminei de ler ainda):

    http://mds.marshall.edu/etd/36/

    Em portugues temos:

    http://prope.unesp.br/xxii_cic/ver_resumo.php?area=100046&subarea=13058&congresso=30&CPF=38179586847

    http://www.sbmac.org.br/eventos/cnmac/xxxiii_cnmac/pdf/563.pdf

    Até +.

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