quarta-feira, 18 de janeiro de 2012

008-Logaritmo de número negativo?


O gráfico de uma função logaritma qualquer, seja ela crescente ou decrescente, é totalmente à direita do eixo 

Portanto, parece não ter sentido falar em logaritmos de números negativos.
Desta forma, é conveniente dizer que, por exemplo,  é válido para 

Mas, no século , os matemáticos gostavam de quebrar a cabeça com o seguinte paradoxo: 

 

 

Sendo,  representando o logaritmo de em uma base real positiva  .

Coube a Leonhard Euler  , o mais prolífero e criativo dos matemáticos, a palavra final sobre o assunto. Se , ele sabia que


e procurou fornecer um significado que seja válido para .

A representação da função definida por  por um polinômio de grau infinito ( série infinita ) foi crucial neste assunto. Desde a sistematização do Cálculo por Isaac Newton  e Gottfried_Leibniz sabia-se que , ou seja a derivada de   é a própria .

Se   puder ser representada por um polinômio de grau infinito, podemos fazer



Igualando os coeficientes, temos

,...,

E todos os  podem ser dados em função de  da seguinte forma:





...etc
Logo,

 já que para .

Usando recursos infinitesimais, podemos provar não só a série para  como também as seguintes séries trigonométricas:

 e 

Com a mente não embotada pelos grilhões do rigor, Euler foi ousado em usar uma variável complexa nas séries geradas por  e  e conseguiu excepcionais resultados com as seguintes manipulações:

          

    




 

e as expressões resultantes  e  são conhecidas como IDENTIDADES DE EULER.

Somando as duas identidades,  , obtemos uma das relações mais importantes da matemática ( FÓRMULA DE EULER ).

Em  é um número real que representa um ângulo em radianos. Portanto , com  e .

Para , temos 

E em relação ao logaritmo de um número negativo, nesta última expressão está o cerne da questão.
Além de produzir o belíssimo resultado  ( onde estão unificados os números mais importantes da matemática ,,, e  ), essa exótica identidade nos diz ainda que


Assim, Euler soluciona o mistério.O logaritmo de um número negativo não é real, mais sim, um número complexo:

Com   , 




APÊNDICE

1) Surgindo como mais uma pérola, a FÓRMULA DE EULER mostra que um número complexo elevado a um número complexo () pode ser um número real! Na relação , fazendo , temos  . Elevando ambos os membros à  :

.

2) Mas, precisamente, existem infinitos valores complexos/reais, respectivamente, para  e  devido a periodicidade das funções trigonométricas envolvidas em função de .


REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA.

- Matemática para Economistas, de Taro Yamane, Editora Atlas, 1989.
- Cálculo com Geometria Analítica - Volume 2, de George F.Simmons, Editora McGraw-Hill,1988.
- Introdução a História da Matemática, de Howard Eves, Editora Unicamp, 1997.



9 comentários:

  1. Interessante o modo como podemos obter as séries infinitas das funções através das equações diferenciais e esta identidade de Euler, realmente é uma das mais belas da matemática. Veja este post http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/02/alguns-matematicos-com-suas-formulas.html

    Obs. Acrescentei também um link para o seu blog no Fatos Matemáticos, iniciando assim uma parceria link.

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  2. Vc tem algum link das séries por ED? A capacidade de Euler de criar era impressionante, conseguindo resultados que fugiam de seus conteporâneos. Fico muito satisfeito com a parceria com FATOS MATEMATICOS. Valeu!

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  3. Tenho alguns assuntos. Digite na caixa de pesquisa: a matemática de Euler, funções de bessel, binomio de newton e edo que você irá encontrar como deduzir o binomio de Newton através de EDO.

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  4. Olá Aloísio, muito boa postagem. Podemos ver muitas coisas: a explicação do logaritmo negativo; a identidade de Euler; mostra, como o Paulo disse, as séries infinitas. O melhor de tudo é perceber a capacidade de resolver problemas que o grande matemático Euler tinha, pondo um ponto final na história.

    Eu tinha feito um post com certa afinidade a este seu. Vou aproveitar e inserir o link:

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2010/07/demonstracao-da-identidade-de-euler.html

    Um abraço.

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  5. Muita interessante sua postagem sobre a identidade de Euler. Realmente existem muitas versões sobre as peripécias de Euler e cada divulgador matemático nos enriquece com a sua em particular. Fico honrado em fazer parceria com O BARICENTRO DA MENTE,que pra mim é TOP 10 e tem uma imensa experiência. Obrigado, amigo Kleber.

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  6. É impressionante como Euler de certo modo estava "acima" de seus contemporâneos, incluindo gente como Leibniz e Jean Bernoulli (que tinham pontos de vista diferentes sobre os lagaritmos - ma daí vem a genialidade de Euler ao fazer esta definição de logaritmo de número negativo e concilia as ideias dos dois). Um texto interessante sobre este tema está em "meu professor de matemática e outras histórias" de Elon Lages Lima.
    Pedro R.

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  7. Pedro, R, a capacidade de Euler de resolver problemas traduzia a síntese da sua genialidade, da sua capacidade para o trabalho e de seu imenso amor pela matemática. Tenho certeza que, mesmo longe da lousa e do estúdio ele fazia muitas elucubrações mentais e montava a estratégia de resolução de inúmeros problemas. Valeu a indicação do livro de Elon Lages Lima, vou tentar adquirí-lo.

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  8. Olá, Aloísio!!!!
    Belíssima e interessante postagem que você trás para esse carnaval!!!! Parabéns!!!!
    O Euler, ficou completamente cego, aos 59 anos, mas, se já se mostrava ser um gênio matemático antes desse fato, continuou a desenvolver mais genialidade, via as soluções mais do que todo mundo, pois a sua mente eram os seus olhos e então, nessa sua segunda parte existencial, foi capaz de produzir essas "pérolas" do cálculo como essas que você informa aqui na postagem nota mil!!!!
    Um abraço!!!!!

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  9. Oi, Valdir!

    Euler tinha muita capacidade de trabalho. Foi o "Thomas Edison" da matemática! Acredito que ele tinha memória fotográfica...

    Euler foi um explorador da selva matemática e corajosamente descobria novos caminhos enquanto registrava o achado em seus milhares de registros (mapas ).

    Valeu, amigo!

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