sábado, 28 de janeiro de 2012

012-Progressão Geométrica de Ordem Superior

 O nascer do sol é uma certeza física ou matemática?



DERIVADA GEOMÉTRICA ou derivada  é uma operação aplicada em uma função aritmética qualquer   (desde que para qualquer ), originando uma nova função aritmética  definida por

  

A derivada geométrica aplicada em uma progressão geométrica ordinária () definida por  é

 

Assim a derivada  de uma  ordinária é uma função aritmética constante  cujo valor é a própria razão da mesma.


INTEGRAL GEOMÉTRICA ou integral  é a operação inversa da derivada  de forma que se existir uma função aritmética definida por  , onde , então  é a integral  de . Simboliza-se  e , onde  são considerados limites racionais.



PROGRESSÃO GEOMÉTRICA DE ORDEM  ou  é uma função aritmética definida por

 ( 1 )

com   e .


TEOREMA

Se  é uma  conforme ( 1 ), então sua derivada  é 

   ( 2 ) 

Comparando ( 1 ) e ( 2 ), vemos que:

  1) Se  tem ordem , então  tem ordem .
 2) Os coeficientes de  são os mesmos de , com exceção de , mas transladados de um fator para a esquerda.


DEMONSTRAÇÃO

    



Agora, lembrem-se que a soma de duas células consecutivas  do triângulo de Pascal resulta numa célula da linha seguinte  e da mesma coluna , ou seja,  ( RELAÇÃO DE STIFFEL ). Fazendo  e  a relação fica

   

Logo, temos ( 2 )


NOTAÇÃO DAS DERIVADAS  SUCESSIVAS DE 

 de ordem , é o resultado da aplicação da derivada  em  de ordem ;
de ordem , é o resultado da aplicação da derivada  em de ordem ;
.........................................................................................................................
de ordem , o resultado da aplicação da derivada  em , de ordem ;
.........................................................................................................................
de ordem , o resultado da aplicação da derivada  em de ordem .

Neste caso,   
Assim, , é uma de ordem , o resultado da aplicação da derivada  em de ordem .

Portanto,. E para todo  temos .


 INVESTIGAÇÃO  DAS BASES  

Para , temos , visto que  é fator de . Em consequência, os valores das bases   são calculados conforme a seguir.



 ...............................................................................................................
...............................................................................................................

Logo,  pode ser reescrita como


Exemplo de obtenção das bases. Seja a  definido por . Se seus  valores iniciais são , podemos fazer um triângulo numérico onde a razão entre duas células consecutivas ( direita pela esquerda ) de uma mesma linha resulta na célula do meio da linha inferior. Veja:

                                   primeiros  valores de ;
                                 primeiros  valores de ;
                              primeiros  valores de , lembrando que estes dois valores são termos de uma   ordinária.
                       primeiro valor de  por ser a razão  de uma  ordinária.

Pegamos, então, as bases  na diagonal esquerda deste triângulo numérico:



 Logo,, já que 


 Observação: a função aritmética finita cujos valores são  tanto pode ser definida por  como por , com , caracterizando uma progressão aritmética de primeira ordem  ) no primeiro caso e uma progressão geométrica de segunda ordem (   ), no segundo caso. No entanto, se , enquanto , por sua vez, , ou seja, cada progressão segue seu caminho de acordo com sua natureza. Dado então , pode-se mostrar que a sequência pode ser os primeiros  valores de uma  de ordem , por maior que seja , com a seguinte armadilha: !!. Será que na natureza existem funções enganadoras como esta? Espero que não porque quero continuar tendo a certeza de que o sol nascerá amanhã....


PRODUTO   DOS PRIMEIROS TERMOS DE UMA FUNÇÃO ARITMÉTICA QUALQUER

Seja  uma função aritmética qualquer. Se existir ) tal que então

 

E, após o cancelamento de numeradores com denominadores iguais,concluímos que

ou seja, o produto  dos  primeiros termos de uma função aritmética qualquer  é a integral  desta sequência  nos limites racionais  e .


PRODUTO  DOS  PRIMEIROS TERMOS DE UMA  

Se a derivada de  é
 
então, por indução inversa, podemos dizer que a integral  de  é

 

onde  é uma constante real arbitrária chamada de constante de integração geométrica. Logo, como  , temos
 

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