A derivada geométrica aplicada em uma progressão geométrica ordinária () definida por é
Assim a derivada de uma ordinária é uma função aritmética constante cujo valor é a própria razão da mesma.
INTEGRAL GEOMÉTRICA ou integral é a operação inversa da derivada de forma que se existir uma função aritmética definida por , onde , então é a integral de . Simboliza-se e , onde são considerados limites racionais.
INTEGRAL GEOMÉTRICA ou integral é a operação inversa da derivada de forma que se existir uma função aritmética definida por , onde , então é a integral de . Simboliza-se e , onde são considerados limites racionais.
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA DE ORDEM ou é uma função aritmética definida por
( 1 )
com e .
TEOREMA
Se é uma conforme ( 1 ), então sua derivada é
( 2 )
Comparando ( 1 ) e ( 2 ), vemos que:
1) Se tem ordem , então tem ordem .
2) Os coeficientes de são os mesmos de , com exceção de , mas transladados de um fator para a esquerda.
DEMONSTRAÇÃO
Agora, lembrem-se que a soma de duas células consecutivas do triângulo de Pascal resulta numa célula da linha seguinte e da mesma coluna , ou seja, ( RELAÇÃO DE STIFFEL ). Fazendo e a relação fica
Logo, temos ( 2 ):
NOTAÇÃO DAS DERIVADAS SUCESSIVAS DE
, de ordem , é o resultado da aplicação da derivada em , de ordem ;
, de ordem , é o resultado da aplicação da derivada em , de ordem ;
.........................................................................................................................
, de ordem , o resultado da aplicação da derivada em , de ordem ;
.........................................................................................................................
, de ordem , o resultado da aplicação da derivada em , de ordem .
Neste caso,
Assim, , é uma de ordem , o resultado da aplicação da derivada em , de ordem .
Portanto,. E para todo temos .
INVESTIGAÇÃO DAS BASES
Para , temos , visto que é fator de . Em consequência, os valores das bases são calculados conforme a seguir.
...............................................................................................................
...............................................................................................................
Logo, pode ser reescrita como
Exemplo de obtenção das bases. Seja a definido por . Se seus valores iniciais são , podemos fazer um triângulo numérico onde a razão entre duas células consecutivas ( direita pela esquerda ) de uma mesma linha resulta na célula do meio da linha inferior. Veja:
primeiros valores de ;
primeiros valores de ;
primeiros valores de , lembrando que estes dois valores são termos de uma ordinária.
primeiro valor de por ser a razão de uma ordinária.
Pegamos, então, as bases na diagonal esquerda deste triângulo numérico:
Logo,, já que
Observação: a função aritmética finita cujos valores são tanto pode ser definida por como por , com , caracterizando uma progressão aritmética de primeira ordem ( ) no primeiro caso e uma progressão geométrica de segunda ordem ( ), no segundo caso. No entanto, se , enquanto , por sua vez, , ou seja, cada progressão segue seu caminho de acordo com sua natureza. Dado então , pode-se mostrar que a sequência pode ser os primeiros valores de uma de ordem , por maior que seja , com a seguinte armadilha: !!. Será que na natureza existem funções enganadoras como esta? Espero que não porque quero continuar tendo a certeza de que o sol nascerá amanhã....
PRODUTO DOS PRIMEIROS TERMOS DE UMA FUNÇÃO ARITMÉTICA QUALQUER
Seja uma função aritmética qualquer. Se existir ( ) tal que então
E, após o cancelamento de numeradores com denominadores iguais,concluímos que
ou seja, o produto dos primeiros termos de uma função aritmética qualquer é a integral desta sequência nos limites racionais e .
PRODUTO DOS PRIMEIROS TERMOS DE UMA
Se a derivada de é
então, por indução inversa, podemos dizer que a integral de é
onde é uma constante real arbitrária chamada de constante de integração geométrica. Logo, como , temos
kade a soma dos n primeiros termos?
ResponderExcluir