Considere
,
,
e
todos
, com
.
Recordem que o máximo divisor comum ( MDC ) de
e
, simbolizado por
, é o maior dos divisores comuns de
e
.
Ex:
e
Os divisores comuns de
e
são
e o maior deles é
. Logo,
.
O que proponho é o seguinte.
DEMONSTRAR que a combinação
é sempre múltiplo inteiro de
.
Ou, em outras palavras, se
, mostrar que
, para
.
Demonstração: Seja
o conjunto que contêm todos os valores não-negativos de
, ou seja,
onde
.
é o primeiro elemento positivo de
, portanto, existem
e
, tal que
E
representa qualquer outro elemento de S+:
Se dividirmos F por f podemos ter um quociente
e um resto
.
Assim,
O próximo passo agora é mostrar que o resto
também
. Vejamos,
, mas
e
e substituindo estes valores no primeiro,
Desta forma, existem
e
onde
e conclui-se que
.
No entanto
e, por hipótese,
é o primeiro elemento positivo de
. Logo,
.
O fato de
nos traz três importantes consequências:
1ª - Qualquer elemento
de
é múltiplo do primeiro elemento positivo
porque
;
2ª - Como
e
, eles também são múltiplos de
o que é a mesma coisa em dizer que
é um
divisor comum de de
e
;
3ª - Seja
qualquer outro divisor comum de de
e
. Por
concuímos que
divide
e assim,
, ou seja,
é maior que todos os outros divisores comuns.
Portanto,
e
Para os valores de
a prova é trivial. Basta considerar o módulo de
.
Logo,
, para
.
Fonte: Teoria dos Números, de
Salahoddin Shokranian,
Marcus Soares,
Hemar Godinho;
Editora UNB, 1998.
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