domingo, 1 de janeiro de 2012

001-Uma Equação Diofantina Especial

            
axy + bx + cy = d

Com a,b,c,d,x,y inteiros e "a" diferente de zero.

Dado D = bc + ad 

Temos que x = ( -c + Dx ) / a
                  y = ( -b + Dy ) / a 

Onde Dx.Dy=D, ou seja Dx e Dy são divisores inteiros complementares de D.

Demonstração:
axy + bx + cy = d

axy+cy+bx=d

Agora vamos utilizar um artifício algébrico para fins de fatoração:

axy + cy + (b/a).ax + (b/a).c - (b/a).c = d

Observe que não houve alteração da equação porque 

a/a=1 e (b/a).c - (b/a).c=0.

axy + cy + (b/a).ax + (b/a).c - (b/a).c = d

Colocando y e b/a em evidência,

y( ax + c ) + (b/a)( ax + c ) - ( b/a).c = d

y( ax + c ) + (b/a)( ax + c ) = ( bc + ad)/a

Colocando ( ax + c ) em evidência,

( ax + c )( y + b/a ) =  ( bc + ad)/a

E, finalmente, multiplicando tudo por "a",

( ax + c ) ( ay + b ) = bc + ad 

Nesta forma fatorada de axy + bx + cy = d, percebe-se que 
( ax + c) e ( ay + b ) são divisores inteiros complementares de D = bc + ad.

Designando Dx e Dy como divisores inteiros de D, de forma que Dx.Dy=D, temos:

ax + c = Dx, portanto x = ( -c + Dx ) / a

ay + b = Dy, portanto y = ( -b + Dy ) / a 

Observe que a referida equação terá soluções inteiras desde que "a" divida simultâneamente ( -c + Dx ) e ( -b + Dy ).

Assim, a equação sempre terá soluções inteiras para a= +1 ou a = -1. Neste caso, o número de soluções ( x,y ) será o número de divisores inteiros de D = bc + ad.

EXEMPLO


Resolver a equação xy - 8x + y = 1

Temos a = 1,  b = -8,  c = 1  e d = 1

D = bc + ad = ( -8 )( 1 ) + ( 1 )( 1 ) = -8 + 1 = -7

Divisores inteiros de -7 : { -7, -1, +1, +7 }

Como D = Dx.Dy = -7, quando Dx = -7 implica em Dy = +1
                                    quando Dx = -1 implica em Dy = +7
                                    quando Dx = +1 implica em Dy = -7
                                    quando Dx = +7 implica em Dy = -1
Assim,
x = ( -c + Dx ) / a = ( - 1 + Dx ) / 1 = -1 + Dx
y =  ( -b + Dy) / a = ( 8 + Dy ) / 1 = 8 + Dy

x = -1 + [ -7, -1, +1, +7 ] = [ -8, -2, 0, 6 ]
y =  8 + [ +1,+7, -7,  -1 ] = [  9, 15, 1, 7 ]

Conjunto solução: S = { ( -8,9 );( -2,15 );( 0,1);(6,7) }

Ver mais exemplos em Equação Diofantina Especial 2.



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