segunda-feira, 12 de março de 2012

025-A Fórmula de Heron

O valor de um terreno, cujo  custa R$  , pode ser calculado se conhecermos sua área, ou seja, quantos unidades de  "cabem" dentro do mesmo. Se o terreno tiver um formato triangular com medidas conforme o diagrama abaixo 


 a tarefa fica fácil pois conhecemos a base  e  a altura .

A área  de um triângulo é a metade (  ) do produto da base  pela altura . Simbolicamente,


Assim, 

Então se o   deste terreno custa R$ , o terreno todo custará  vezes R$ R$ 

Mas suponha que o leitor tenha um outro terreno triangular com as seguintes medidas 

  
Conforme o modelo, sabemos o valor  dos três lados do triângulo mas não de sua altura. E agora, como proceder para o cálculo da área deste terreno?

Em caso prático, o mais simples, talvez, seria esquecer as medidas dos lados  e , pegar uma fita métrica e medir a desconhecida altura. 

Porém, pode ocorrer do leitor ter apenas as medidas  , e  anotadas e estar distante do terreno, resolvendo o negócio em outra localidade. Como calcular a área com esses dados?


Felizmente, podemos contar com o apoio póstumo do  grande matemático, físico, engenheiro, inventor e astrônomo grego Arquimedes de Siracusa, que, de acordo com os antigos historiadores, é autor do método de calcular a área de um triângulo apenas com as medidas dos lados.


No entanto, a mais antiga demonstração que se conhece deste método se deve ao geômetra e também grego Heron de Alexandria,  , que  a mencionou na sua obra A Métrica e por isso a  fórmula leva seu nome.

O que nos foi legado por estes dois sábios da antiguidade, relativo ao cálculo da área de um triângulo a partir dos lados, é descrito a seguir.

Obs: nos cálculos, usarei aproximação de três casas decimais.

Primeiro soma-se os lados e divide-se por dois:


Aqui, o resultado  é conhecido como semiperímetro.

Em segundo, anota-se os resultados da diferença de  por cada lado:






Em terceiro, multiplica-se  por cada diferença:


E em quarto e último, extra-se a raiz quadrado deste resultado:


Logo, a  área do segundo triângulo é .

 O aprendiz pode treinar desenhando em um papel ( usando lápis ou caneta e uma régua ) um triângulo qualquer e depois medir seus lados e altura em . A tarefa fim é calcular ( usando ou não calculadora, como preferir ) a área com as fórmulas

    

   

 e comparar os valores encontrados.

Aqui, o estudante prático pode dar-se por satisfeito pois já conhece estas duas ferramentas para o cálculo da área de um triângulo que pode usar para fins diversos: áreas de terrenos, provas / concursos, etc.

Mas para o estudante que, além de prático, é curioso e investigador ( e por isso leva uma grande vantagem sobre os demais ), que gosta saber a essência dos conhecimentos matemáticos, deve estar se perguntando porque a fórmula de Heron funciona,  se não é que já sabe. Para estes entusiastas, segue a demonstração da fórmula de Heron,  para conhecimento e/ou revisão.
  


FÓRMULA DE HERON 

 Se  e  são os lados de um triângulo qualquer, então a área do mesmo é

, com 


DEMONSTRAÇÃO 


A demonstração será em duas partes (  e  ).


Parte   

Considere o triângulo agudo - primeiro triângulo ( com ângulo ) e o triângulo obtuso - segundo triângulo ( com ângulo ), conforme os diagramas a seguir.




Em ambos:

 é a altura relativo ao lado ;
 é a projeção do lado  sobre a reta que contêm o lado  (). Reparem que se , podemos ter . Logo, estamos considerando também, embora implicitamente, o triângulo retângulo.

Nesta primeira etapa da demonstração, vamos provar que no primeiro triângulo vale a relação  e, no segundo triângulo, vale  . Estas relações são as generalizações algébricas do teorema de pitágoras (), válidas para qualquer triângulo ( a generalização trigonométrica do é chamada de Lei dos Cossenos ).  

Usaremos o sinal  e diremos que a relação  vale para ambos os triângulos. A idéia é provar os dois casos de um único modo.

Sem mais delongas, observem que no triângulo , tanto no primeiro quanto no segundo triângulo, de acordo com o , temos



 ( 1 )

E no triângulo  , também existente em ambos os triângulos, usando novamente o , temos

 ( 2 ) 

Substituindo ( 2 ) em ( 1 ), obtemos

 



e está provado a relação conhecida como Lei das Projeções para um triângulo qualquer.


Parte 

Nesta segunda parte da demonstração, iremos calcular a altura . Este é o segredo da fórmula de Heron: o cálculo da altura está embutido em função dos lados! 

Da Lei das Projeções , tiramos: 

 

Substituindo em ( 2 )



Observem que, no segundo membro o  dos denominadores é . Colocando o segundo membro em um denominador comum utilizando este , temos



Multiplicando ambos os membros por :



No segundo membro, usando  o produto notável 



Reorganizando algebricamente cada fator entre colchetes, de forma que se forme os quadrados perfeitos  e , temos

 



Agora em cada fator, utilizamos novamente o produto notável 


 ( 3 ) 

Vamos analisar estes fatores, principalmente os três últimos:

Sendo  o semiperímetro ou , temos 

 

 



Substituindo esses resultados em ( 3 ): 

 



E temos a altura do triângulo  relativa ao lado . Agora basta usar o lado  como base e usarmos a fómula comum para o cálculo da área de um triângulo:




Como podem perceber, essas engenhosas manipulações algébricas, vistas na demonstração, só podem ter saído da mente do grande Arquimedes.  

-*-  


PARA SABER MAIS:

No blog FATOS MATEMÁTICOS, do Prof. Paulo Sérgio, temos a demonstração da fórmula de Heron usando a Lei dos Cossenos.

No blog O BARICENTRO DA MENTE, de Kleber Kilhan, sugiro o post O Teorema de Steward, para quem desejar se aprofundar na geometria dos triângulos e saber um pouco sobre a vida deste matemático. 




REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA  




Imagens: http://pt.wikipedia.org/wiki/Arquimedes
                 http://pt.wikipedia.org/wiki/Heron_de_Alexandria



9 comentários:

  1. Muito bom!
    A propósito, outro livro sensacional sobre geometria é "CQD" de Gilberto Garbi. Caso não tenha visto, recomendo.
    Abs (Cesar)

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  2. Oi! Quando vi a fórmula de Heron achei interessante porque nela se extraia a raiz quadrada de metro elevado à quarta para dar metro quadrado e a decorei. Certa vez eu trabalhando no atendimento de um banco fui chamado ao setor de empréstimos, Tavano! me disse o chefe do setor, Temos um terreno dado em garantia e precisamos saber o valor dele para hoje, sabemos o preço do metro quadrado na região mas na escritura não consta a área e o terreno é triangular só consta a medida dos lados (talvez o escrivão não soubesse calcular) Nem é preciso dizer que Heron me salvou. Verifiquei depois que o triângulo não era retângulo o que deve ter dificultado o cálculo da área. Há certas informações que pensamos que jamais serão úteis. Obrigado

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    1. Oi, Tavano

      A geometria plana talvez seja a parte da matemática com mais aplicações práticas porque partiu da necessidade do homem de demarcar suas terras. Isto, desde o começo das civilizações. De lá para cá, não se mudou muita coisa em relação as fórmulas. O que não se pode dizer o mesmo dos aparelhos de medições.

      Na sua experiência relatada, vc tinha um ás na manga ( fórmula de Heron ) que fez com que aumentasse o conceito positivo com seu chefe.

      Sobre informações que pensamos que jamais serão úteis, temos o caso moderno da geometria não-euclidiana que foi uma ferramenta indispensável para Einstein desenvolver sua Teoria da Relatividade.

      Valeu, Tavano e obrigado pelo seu relato.

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  3. Novamente publicou um post com muita riqueza de detalhes. Vejo que também gosta de geometria. Com certeza este post será muito útil para todos que precisam saber mais sobre a fórmula de Heron. Obrigado pelo link citado acima.

    Dica: Acho que você devia criar uma página secundária com a lista de posts já publicados.

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    1. Oi, Prof. Paulo Sérgio,

      O treinamento que sugeri neste post eu fazia muito quando tinha uns 12 anos. Também bolei um jogo matemático de dupla onde ganhava quem desenhasse um triângulo cuja área se aproximasse o máximo de [;50cm^2;] sem ultrapassar este valor.

      Ainda estou para aprender como coloco um menu embaixo do título do blog. O Kleber e o Valdir me passaram uns links que ainda não tive oportunidade para ler.

      Obrigado pela dica, com certeza ela é útil.

      Valeu.

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  4. Muito bom Aloísio. Gostei de ler e deixar melevar pelo seu raciocínio. Demorei um pouco para ler, pois infelizmente o tempo é curto para dar conta de tantos artigos excelentes e para um texto técnico, não dá para ler sem ter o mínimo de concentração.
    Obrigado por citar meu blog. No link abaixo tem o método de Heron para aproximações de raízes quadradas:

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2008/11/mtodo-de-hero-para-aproximao-de-raz.html

    Aproveitando, adicionei seu banner em minha lista de parceiros.

    Abraços.

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  5. Oi, Kleber!

    Obrigado pelo elogio e força!

    Olha, posso dizer que depois que li seu trabalho sobre o teorema de Steward me senti uma "autoridade" sobre triângulos. Não estou exagerando.

    Eu olhei no seu link sobre o método de Heron para aproximar raízes e confesso que é outra novidade interessante para mim. Valeu!

    Agradeço pelo banner e pela divulgação no seu prestigiado e tradicional blog.

    Um grande abraço!

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  6. muito bem explicado, agora sim entendi vlw cara vc é o cara

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