quinta-feira, 1 de março de 2012

021-Média Harmônica

"Dizem por aí que todo homem deve plantar 
uma árvore, escrever um livro e ter um filho. 
Nós acrescentaríamos um quarto item: ter um 
blog de matemática - isso se deve ao benefício que 
ele causa; falando por experiência, ninguém aprende 
mais do que o escritor" - Pedro R. e Caroline S. Pereira / BLOG MANTHANO


Média Harmônica ( [;MH;] ) de [;n;] números reais [;x_1;], [;x_2;],...,[;x_n;] é o inverso da média aritmética de seus inversos. Ou seja,

Inversos de [;x_1;], [;x_2;],...,[;x_n;]: [;1/x_1;],[;1/x_2;],...,[;1/x_n;]
 
Média aritmética de seus inversos: [;m=\frac{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}{n};]

Inverso desta média aritmética ( média harmônica ): [;MH =\frac{1}{m}=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}};]

A média harmônica de apenas dois números [;a;] e [;b;] é dado por [;MH(a,b)=2.\frac{ab}{a+b};]. De fato, pois [;MH(a,b)=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2}{\frac{a+b}{ab}}=2.\frac{ab}{a+b};] 

Aplicação: a [;MH;] é utilizado comumente em problemas que envolvem o inverso do tempo , por exemplo, em problemas de tempo de percorrimento de distância ou tempo de preenchimento de capacidade líquida. Isto porque a velocidade, tanto de percorrimento, quanto de preenchimento, é dado por [;k.\frac{1}{ t};] onde [;k;] representa capacidade ou distância.

Exemplo: [;n;] torneiras, quando agindo isoladas, enchem um tanque em [;t_1,t_2,...,t_n;] , respectivamente. Funcionando todas as torneiras simultâneamente, em quanto tempo o tanque vai encher?

Resolução: convencionando que a capacidade do tanque seja [;K=1;] , temos que a velocidade total de enchimento é

[;V=\frac{1}{t_1}+ \frac{1}{t_2}+...+\frac{1}{t_n};]

Como o tempo de enchimento [;T;] é dado pela capacidade [;K;] dividida pela velocidade total [;V;], temos:

[;T=\frac{K}{V}=\frac{1}{\frac{1}{t_1}+ \frac{1}{t_2}+...+\frac{1}{t_n}}=\frac{MH}{n};]
 

 Onde [;MH;] representa a média harmônica dos tempos [;t_1;],[;t_2;],...,[;t_n;].

Exemplo prático: duas torneiras, quando agindo isoladas, enchem um tanque em [;t_1=4h;] e [;t_2=6h;]. As duas torneiras agindo juntas encherão o tanque em qual tempo [;T;]?
Resolução: calcula-se a média harmônica de [;4;] e [;6;]: [;MH=2.\frac{4.6}{4+6}=2.\frac{24}{10};]


Logo, [;T=\frac{MH}{2}=2.\frac{24/10}{2}=\frac{24}{10}=2,4;] horas ou [;2h;] e [;24mim;]


REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DA MÉDIA HARMÔNICA 

No diagrama abaixo, [;AB;], [;EG;] e [;CD;] são perpendiculares  à [;BD;]. Se temos

 [;\bar {AB}=a;],    [;\bar{CD}=b;],    [;\bar{BG}=m;],    [;\bar{DG}=n;],   [;\bar{EF}=\bar{FG}=k;]

então a média harmônica relativa aos segmentos de módulos [;\bar {AB}=a;] e [;\bar{CD}=b;]  é [;\bar{EG}=2k;].
DEMONSTRAÇÃO 

Os triângulos [;FGD;] e [;ABD;] são semelhantes:  


[;\frac{n}{k}=\frac{m+n}{a};]

Os triângulos [;FGB;] e [;CDB;] são semelhantes:

[;\frac{m}{k}=\frac{m+n}{b};]

Somando as relações membro a membro temos:

[;\frac{m+n}{k}=\frac{m+n}{a}+\frac{m+n}{b} \Rightarrow;]  

[;\frac{1}{k}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\Rightarrow;] 

[;k=\frac{ab}{a+b};] 

Portanto, [;MH(a,b)=2.\frac{ab}{a+b}=2k;] 


***************UM POUCO DE HISTÓRIA****************



Pappus de Alexandria, matemático da antiguidade, no Livro III da sua extensa  obra conhecida como Coleção ( Synagoge ), fornece uma bela construção geométrica relacionando  as médias aritmética [;\frac{a+b}{2};], geométrica [;\sqrt{ab};] e harmônica [;\frac{2ab}{a+b};], de dois números [;a;] e [;b;], em um único semicírculo. Veja no seguinte diagrama:
No semicírculo [;ADC;], com centro em [;O;], temos [;DB;] perpendicular à [;AC;] e [;BF;] perpendicular à [;OD;]. Relativos aos segmentos [;AB;] e [;BC;], temos a média aritmética [;MA=\bar {DO};], a média geométrica [;MG=\bar{DB};] e a média harmônica [;MH=\bar{DF};]. Observem que, se [;\bar{AB}\neq \bar{BC};], temos [;MH<MG<MA;], ou seja, [;\bar{DF}<\bar{DB}<\bar{DO};].

Para saber mais: FATOS DA MÉDIA HARMÔNICA

Imagem: wikipedia

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA



12 comentários:

  1. Uma nova abordagem da média harmônica. Coincidentemente publicarei hoje sobre o problema das torneiras através de uma visão ligeiramente diferente. Agradeço pelo link citado acima e concordo plenamente com a frase inicial acrescentando "ter um blog de matemática."

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    1. Oi, Prof.Paulo Sérgio! Estamos à postos pois fazemos parte da União dos Blogs ( UBM ), que dá um significado especial a palavra parceria.

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  2. Olá, Aloísio:
    Achei muito interessante saber desta aplicação prática da média harmônica, no cálculo do tempo de preenchimento relacionado às duas torneiras abertas simultaneamente, conhecendo-se o tempo de cada uma.

    Apenas um informe. Depois da frase:
    "Como o tempo de enchimento [;T;] é dado pela capacidade dividida pela velocidade total , temos:", a fórmula não está aparecendo bem clara. Aqui no meu computador está aparecendo assim:

    [;T=\frac{K}{V}=\frac{1}{\frac{1}{t_1}+ \frac{1}{t_2}+...+\frac{1}{t_n}}=\frac{MH}{n};]

    Abraço.

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    1. Oi,Jairo! Fico muito honrado com sua primeira visita e contente por ter gostado desta aplicação da média harmônica.

      Obrigado pelo alerta da fórmula. Isto acontece toda vez que uso o computador no trabalho. Agora que abri aqui em casa talvez o problema se corrija automaticamente. Não sei porque acontece isso.

      Obrigado!

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  3. Olá Aloísio,

    Um belo artigo esse! Muito bom. Eu já havia me deparado com exercícios semelhantes a este da torneira e acabamos resolvendo de outra forma, mas vendo assim, como é simples! Gostei das imagens também. E o contexto histórico veio para fechar com chave de ouro!

    Um abraço!

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    1. Oi, Kleber,

      Obrigado pelos elogios! Agora que estou desbravando o geogebra e creio que tem algumas coisas que precisam ser melhoradas.

      Valeu!

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  4. Muito boa essa postagem. Gostei muito da fonte bibliográfica.Adoro esse livro.
    Parabéns.

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    1. Olá Drika,

      A melhor recompensa para que posta é saber que alguém gostou. Este livro de história marcou minha vida pois reforçou definitivamente minha paixão pela matemática.

      Obrigado pela visita!

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  5. Achei muito interessante a pequena resenha histórica introduzida no final. Conhecia a desigualdade mas nunca imaginei que fosse um resultado da antiguidade clássica.

    Quanto ao mote principal do texto, a média harmónica presta-se a resolver problemas que envolvam tempos e velocidades. Outro exemplo consiste no clássico problema de um carro que percorre uma distância dividida em n intervalos com comprimento fixo d. No primeiro intervalo, o carro anda à velocidade v1, no segundo, à velocidade v2 e assim sucessivamente até vn no intervalo n. A distância percorrida pelo carro é D=nd. A velocidade média, a velocidade constante a que o carro teria de andar para percorrer a distância total D no mesmo tempo é dada pela média harmónica das velocidades vi.
    Se os intervalos forem diferentes, a velocidade média será então dada por uma espécie de média harmónica ponderada das velocidades em cada intervalo.

    Encontramos uma outra aplicação em análise de circuitos eléctricos. Se montarmos um conjunto de resistências em série R1, R2, ..., Rn e quisermos substituir cada uma delas pela resistência Rm de modo a obtermos a mesma resistência equivalente, então Rm será dada pela média aritmética. Por outro lado, se a nossa montagem for em paralelo, o mesmo problema conduz-nos a Rm ser dado pela média harmónica das outras resistências.

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  6. Olá, Sérgio O. Marques!

    Concordo com vc. Podemos ter muitas surpresas ao investigarmos a matemática antiga. Os gregos, por exemplo, sacavam bastante de geometria e encontram relações incríveis entre as figuras.

    A média harmônica é uma das mais importantes das Ciências em face de suas muitas aplicações, dentre elas, as que citou.

    Valeu, um abraço!

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  7. Acredito que a demonstração ficaria mais completa se você justificasse o fato de que 2k = GE.

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  8. Boa noite amigos:
    Sou aluno do profmat estou atrás de questões sobre média Harmônica, para minha dissertação, gostaria de receber informações no email profluizsilva@ig.com.br,
    agradeço pela coloboração.....

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