quinta-feira, 8 de março de 2012

024-MISCELÂNEA

1) O pequeno teorema de Hunasses ( Fortaleza-CE ) diz que:

Considerando as sequências dos números primos ímpares [;P_n;]  e dos números compostos [;C_m;] a seguir.

[;P(3,5,7,11,13,17,19,...);]                           [;C(4,6,8,9,10,12,14,..);]

Se [;m=P_n - (n+1);], então [;P_n=C_m-1;]

foi provado de forma satisfatória por Tavano (?-?) - ver comentários de O Círculo Redutor e a Conjectura de Hunasses - cuja demonstração é descrita a seguir com pequenas modificações.

Demonstração: para determinados valores de [;P_n;] e [;C_m;], seja [;P+C=\left(3,4,5,6,7,8,...,P_n,C_m \right);]. Nesta sequência de termos consecutivos, estão ausentes os números [;1;] e [;2;]. Portanto o número de termos desta sequência é [;n+m=C_m-2;]. Nesta expressão, substituindo [;C_m;] por [;P_n+1;], temos 

[;n+m=(P_n+1)-2 \Rightarrow;] 
 
[;n+m=P_n-1 \Rightarrow;]  

[;m=P_n-(n+1);], com [;P_n=C_m-1;]



2) O limite do quociente de Newton [;f_{\Delta x} ^{(1)}(x)= {\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x};] , quando [;\Delta x \rightarrow 0;], é a base do Cálculo Infinitesimal. Seu equivalente exponencial é [;\lim_{\Delta x \to 0}\sqrt[\Delta x]{\frac{f(x+\Delta x)}{f(x)}};]

Teorema[;\lim_{\Delta x \to 0}\sqrt[\Delta x]{\frac{f(x+\Delta x)}{f(x)}}=e^{\frac{f^'(x)}{f(x)}}?;]


Demonstração: [;\frac{f(x+\Delta x)}{f(x)}=\frac{f(x)+f(x+\Delta x)-f(x)}{f(x)}=1+\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{f(x)};] .Multiplicando o numerador e denominador da segunda parcela por [;\Delta x;] prossegue-se

[;\frac{f(x+\Delta x)}{f(x)}=1+\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.\frac{\Delta x}{f(x)}=1+\frac{f_{\Delta x}^{(1)}(x)}{f(x)}.\Delta x;]  

Portanto, de acordo com o limite exponencial conhecido [;\lim_{\ u \to 0}(1+uw)^{\frac{1}{u}}=e^{uw};], temos

[;\lim_{\Delta x \to 0}\left[\frac{f(x+ \Delta x)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{\Delta x};][;=\lim_{\Delta x \to 0}\left[1+\frac{f_{\Delta x}^{(1)}(x)}{f(x)}.\Delta x \right]^{\frac{1}{\Delta x}}=e^{\frac{f^'(x)}{f(x)};]


Outra demonstração ( Prof. Paulo Sérgio - FATOS MATEMÁTICOS ):

 Seja , [;J = \left[\frac{f(x+ \Delta x)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{\Delta x};]; [;\ln J = \frac{1}{\Delta x}\ln \left[\frac{f(x+ \Delta x)}{f(x)}\right] = \frac{1}{\Delta x}[\ln(f(x + \Delta x)) - \ln f(x)];]

Aplicando limite em ambos os lados e fazendo [;\Delta x \to 0;] e usando o fato que [;f(x) = \ln x;] é uma função contínua, então podemos permutar o limite com o logaritmo, para obter

[;\ln \biggl(\lim_{\Delta x \to 0} J \biggr) = \frac{\ln(f(x + \Delta x)) - \ln f(x)}{\Delta x} = [\ln f(x)]^{\prime} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)};]

donde segue o resultado.
_*_

Exemplo: Seja [;f_*^'(x)=e^{\frac{f^'(x)}{f(x)};][;f(x)=x^x;].

Cálculo de [;f^'(x);]

[;f(x)=x^x;]  

[;ln f(x)=x .ln x;] 
[;\frac{f^'(x)}{f(x)}=1.ln x + x.\frac{1}{x}=ln x + 1;] 
[;f^'(x)=x^x(ln x +1 );]

Cálculo de [;f_*^'(x);] :

[;f_*^'(x)=e^{\frac{f^'(x)}{f(x)}}=e^{\frac{x^x(ln x +1)}{x^x}}=e^{lnx +1}=ex;] 


3) Teorema: não existe polinômio de grau [;g>0;] que forneça apenas  primos. 

Demonstração ( Tavano ): Seja, por hipótese, [;P(x);] um polinômio de coeficientes inteiros e grau [;g>0;], que só forneça números primos. Deste modo, para algum [;x_i;] [;\in \mathbb{Z};], teremos [;P(x_i)=p_i;], sendo [;p_i;] um determinado número primo ( considerem [;x_i;] e [;p_i;] como constantes nos cálculos a seguir ). Para qualquer [;y \in \mathbb{Z};], é conhecido que


[;P(p_iy+x_i)=;]múltiplo de [;p_i;], portanto,

 [;P(p_iy+x_i)=;][;g(y)p_i;]

sendo [;g(y);] um polinômio de mesmo grau que [;P(x);]. Mas como [;P(x);] só gera primos, temos [;g(y)=1=;] cte ( grau [;g=0;] ). Isto indica que [;P(x)=p_i=;]cte ( grau [;g=0;] ), para todo [;x \in \mathbb{Z};].

Então não existe a situação da existência de um polinômio de grau [;g>0;] que só forneça números primos.

Tópico relacionado: O Desafio dos Números Primos



4)  Teorema: Sejam [;p;] e [;q;] dois números primos. Se [;n=pq;]  é um número perfeito, então [;n=6;].

Obs: Este teorema foi criado e demonstrado por Tavano usando meu método resolutivo da equação diofantina [;axy+bx+cy=d;].

Demonstração: Seja [;S(n);] a soma dos divisores de [;n;]. Pela definição de número perfeito temos [;S(n)=2n;]. Usando a propriedade das funções ariméticas multiplicativas:

[;S(n)=S(pq)=S(p)S(q)=(p+1)(q+1)=2n=2pq;] 

Assim, da relação [;(p+1)(q+1)=2pq;] surge a equação diofantina em [;p;] e [;q;]:

[;pq-p-q=1;], com

[;a=+1;]
[;b=-1;] 
[;c=-1;] 
[;d=+1;]  

Então temos [;D=bc+ad=(-1)(-1)+(+1)(+1)=2;] 

Divisores positivos de [;D;]:

 [;d_1=+1;]
[;d_2=+2;] 

[;p=\frac{-c+d_1}{a}=1+1=2;]

[;q=\frac{-b+d_2}{a}=1+2=3;] 

Logo, [;n=pq=2.3=6;]


Tópicos relacionados:

Uma Equação Diofantina Especial



5) Exemplos de números grandes no UNIVERSO. ( diâmetro, área, volume ou número de átomos, como preferir...) 



6 comentários:

  1. Tanto este post como o post anterior sobre os números perfeitos são muito interessantes. Tenho que dedicar mais tempo a essa área da matemática para ficar tão bom quanto você e o Tavano. Obrigado por adicionar minha humilde demonstração.

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    1. Prof.Paulo Sérgio,

      É muita bondade e modéstia de sua parte.

      Acho que foi em 2009, na época em que eu morava em Brasília, que conheci o blog fatos matemáticos. Na ocasião, estava procurando a biografia de Gauss no google. Desde então, sempre acessei, com assiduidade, sempre admirando a forma lógica e organizada com que postava as matérias, sempre interessantíssimas. Meu primeiro comentário foi em http://fatosmatematicos.blogspot.com/2011/07/teste-de-primalidade.html. No entanto, só quem se coloca na pele de um blogueiro ( no meu caso, no começo de 2012 ) sabe a importância que tem,para um autor, em possuir um seguidor. É notório como muitas pessoas, do Brasil todo, acessam um blog, o colocam no favoritos e ficam indiferentes em seguir ou não o mesmo. E ainda, nem comentam. Sinceramete, não sei o que seria de um blog pioneiro se não fosse a UBM. Só tenho que agradecer a vc e o Kleber pela excelente iniciativa.

      Um grande abraço aos dois.

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  2. Oi Teixeira! Como eu já disse ao Kleber sou uma nulidade em informática, meu único filho solteiro trabalha e estuda e me prometeu ajudar. Você pode não acreditar mas eu não sei enviar e-mail. Quanto aos assuntos abordados: Cada dia descubro que alguém já descobriu o que eu pensava ter descoberto o segundo tópico quando "inventei" eu o chamava de derivada hiperbólica, nem me lembro o porquê, e o inverso da operação de produtório integral, exemplo o produtório integral de f(x)=x é (x^x)/(e^x) que tem uma certa semelhança com a fórmula de stirling para n!. No terceiro tópico você deu uma modificada que deixou mais elegante a demonstração. Sobre o quarto tópico, vi hoje na internet uma pseudo-demonstração (anônima) de que não existem números perfeitos ímpares, apesar de falsa pode ser aproveitada para mostrar que não existem números perfeitos ìmpares da forma p1p2p3...pn com os pês todos primos ímpares. Por fim queria dizer ao Prof.Paulo Sérgio que o que sei de Teoria dos Números aprendi tentando demonstrar o Último Teorema de Fermat, fracasso seguido de fracasso, mas um sucessinho era muito comemorado. A Teoria dos Números é linda mas você se sente um órfão a cada problema, não desista. Obrigado pela especial deferência da publicação. Havemos de trocar muitas idéias.

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    1. Oi, Tavano

      Tenho certeza que gostaria de assinar suas brilhantes descobertas com seu nome e sobrenome. Um blog é como se fosse um "quadro negro" aberto ao público onde se pode mostrar um pouco da sua marca e personalidade, mostrando aos afccionados que alí existe um pensador!

      Interessante o nome de Derivada Hiperbólica. Eu tinha designado aquele limite de Derivada Exponencial. Ou se DELTA x=1, de Derivada Geométrica, em alusão às PGs. Eu queria que definisse PRODUTÓRIO INTEGRAL e informasse como chegou ao resultado f(x)= x^x/e^x.

      Em Teoria dos Números, o que sei é o que folheei nos dois livros que tenho sobre o assunto e também no que aprendo em outros blogs. As conexões entre os conhecimentos é que possibilita a descoberta e, quando elas aparecem, por menor que seja, fornece ao pesquisador um êxtase cultural, em grau maior ou menor, mas da mesma origem daquele que impulsionou Arquimedes a correr sem vestimentas.

      Um abraço!

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  3. Oi Teixeira! Obrigado pelo "brilhantes descobertas". Tenho vontade de publicá-las porque, caso contrário, morreriam comigo, é difícil encontrar em meu meio alguém que pudesse ou quisesse apreciá-las. Bom, sobre o produtório integral: Às vezes eu chamava de fatorial de f e representava com a letra m"u grega (de multiplicação) para imitar a integral cujo símbolo é um S (de soma) alongado. Bem grosso-modo uma integral de a até b é f(a)dx+f(a+dx)dx+f(a+2dx)dx+...+f(b)dx, o fatorial de f de a até b seria f(a)^dx X f(a+dx)^dx X f(a+2dx)^dx X.... X f(b)^dx onde "X" é o símbolo de multiplicação. Pode-se provar de modo análogo à relação Integral-derivada que o fatorial de f é a operação inversa da derivada hiperbólica. Seja f* a derivada hiperbólica de f, então temos f*=e^(f'/f)=> lnf*=f'/f, integrando ambos os membros temos Slnf*(x)dx=lnf(x) => f(x)=e^(Slnf*(x)dx), assim o fatorial de x=e^(Slnxdx)=e^(xlnx - x)=(x^x)/(e^x) que se parece umm pouco com a fórmula de stirling (n^n)/(e^n)V(2pin)... abçs

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