Relativo ao inteiro positivo , é o conjunto dos seus divisores e é a soma destes divisores. é considerado um número perfeito toda vez que
, ou seja
Portanto, número perfeito é todo número que é a soma de seus divisores ou
número perfeito é o número cuja soma dos divisores é o dobro do mesmo.
Conclui-se que um número perfeito nunca pode ser um primo porque , para todo .
Eis os primeiros números perfeitos:
, , , e .
Observe que fica radicalmente maior a medida que o índice cresce, tornando os números perfeitos cada vez mais penosos de serem encontrados.
Conjectura-se que todos os números perfeitos são pares e, embora seja uma questão antiga, ainda é aberta. O que se sabe é que, de acordo com os pesquisadores, se existir números perfeitos ímpares, o primeiro é muito grande .
Teorema ( Fórmula de Euclides ): Dado , se for um primo, então
é um número perfeito.
Demonstração 1: suponha um primo. a soma dos divisores de é
Demonstração 2: a função é uma função aritmética multiplicativa. Isto quer dizer que , para , temos . Ora, . Logo,
_*_
Observe que a fórmula não relaciona o índice com o expoente . Esta é uma dificuldade para achar números perfeitos grandes. A tarefa diretora é achar um inteiro de forma que seja um primo. Isso só pode ser feito por inspeção.
O interessante é que, toda vez que é primo, também é. Desafortunadamente, a recíproca não é verdadeira. Se valesse a recíproca, bastava qualquer primo para ser primo e ser perfeito...
Teorema: Se o inteiro é primo, então é primo.
Demonstração: Vamos supor que seja composto. Neste caso, devem existir inteiros e , onde , o que implica
No conhecido somatório de , , fazendo e , temos
Percebe-se que, como , os dois fatores da direita são ambos . Isto contradiz a hipótese do teorema que diz que é primo. Logo, a suposição de que seja composto não se sustenta. é primo!
_*_
Verifica-se que para os primos temos os também primos que fornece os números perfeitos listados acima .
Embora a fórmula de Euclides remonta à antiguidade, o e o números perfeitos só foram descobertos em pelo matemático italiano Pietro Cataldi: e . Atualmente são conhecidos apenas pouco mais que números perfeitos, onde os últimos são relativos à números primos enormes. Se estes primos são grandes, imagine os números perfeitos correspondentes...
Curiosidades: - Todo número perfeito par termina em ou ;
- Sendo primo, este número é conhecido como primo de Mersenne ( ).
- Sendo primo, este número é conhecido como primo de Mersenne ( ).
Para quem quiser saber como Euclides de Alexandria descobriu a sua fórmula, clique em Números Perfeitos
Para quem quiser ver a demonstração de que se e se , e são a soma dos divisores de , e , respectivamente, então , clique em Funções Aritméticas Multiplicativas
BIBLIOGRAFIA
- Funções Aritméticas - Números Notáveis, de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,1988
- Cálculo com Geometria Analítica - Volume 1, de George F.Simmons, Editora McGraw-Hill,1967
- História da Matemática, de Carl B.Boyer, Editora Edgard Blücher LTDA, 1974.
Imagem: http://br.freepik.com/fotos-popular
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Diria que este post ficou "perfeito"! Achei bem completo, com teoremas, demonstrações, contexto histórico.
ResponderExcluirQuer dizer que só podemos encontrar números perfeitos por experimentação? Um tarefa realmente difícil quando [;m;] cresce. Se para o 5º número perfeito temos 8.589.869.056, imagine o vigésimo sétimo!
Um abraço!
Olá, Kleber,
ExcluirA fórmula de Euclides fornece um caminho bom, sem calcular os divisores diretamente para depois somá-los. Mas tem a limitação de não ser direta, ou seja, o número perfeito não é dado em função do seu índice. Hoje em dia, com o advento dos computadores, a cada novo primo da forma [;2^k-1;] encontrado ( pois o que se busca hj em dia, na verdade, é números primos grandes e não números perfeitos )automaticamente se acha um número perfeito da forma [;2^{k-1}(2^k-1);].
Obrigado pelas correções de digitação.
Um abraço!
Oi Teixeira! Desculpe se eu for causar algum mal-entendido ou for repetitivo, Olhe este problema: Seja n=pq perfeito e sejam p e q primos, mostre que n=6. Sugestão:S(n)=(1+q)(1+p)=1+p+q+pq=2pq => pq-p-q=1, aí é só resolver esta equação diofantina teixeiriana do segundo grau e encontrar p=2 e q=3(ou vice- versa). Obrigado
ResponderExcluirPuxa, que maravilha, hem, Tavano!! Uma verdadeira pérola! Parabéns, amigo! Teria como enviar seu nome, sobrenome e cidade onde reside p/ meu email?
ExcluirOlá Aloisio, meu nome é Bárbara Fernanda, e faço um curso em que tenho que resolver uma tarefa até às 23:00h de hoje e esta tarefa é sobre este assunto publicado em seu blog, queria saber se teria como fazer contato com o senhor por e-mail ou algo do tipo para que eu entenda melhor sobre este assunto.
ResponderExcluirSe puder me responda o mais rápido possível.
Desde já agradeço...
Oi, Bárbara,
ExcluirDesculpe, por enquanto, estou sem tempo para dar aulas online.
Atenciosamente
Tudo bem então. :(
ExcluirMesmo assim agradeço...
Att.Bárbara Fernanda.
Saudações, Aloísio Teixeira e todo mundo ...
ResponderExcluirVocês já ouviram falar da Conjectura de Oystein Ore [matemático norueguês] sobre os números divisores harmônicos ?? Se esta conjectura for verdadeira, ela implica que os "números perfeitos ímpares" não existem !!!
Desde já grato por tudo ...
Tchau
Oi, Skox,
ResponderExcluirNão conheço esta conjectura, mas vou dar uma pesquisada nela. Era suspeito que os números perfeitos ímpares não existissem mesmo. Mas, em matemática, suspeita não é suficiente e a demonstração da conjectura de Oystein dará um fim à procura de números perfeitos ímpares.
Obrigado pela participação.