quarta-feira, 14 de março de 2012

026-Vossa Evidência, O PI

A letra grega [;\pi;] ( pí ) foi utilizada para representar a razão ( [;3,1415...;]) da circunferência pelo seu diâmetro, em [;1706;] , por William Jones, [; 1765-1749;], na sua Synopsis Palmariorum Matheseos, or A New Introduction to the Mathematics.

No entanto foi o matemático suiço Leonhard Euler, [;1707-1783;],  quem a popularizou, no uso calejado deste símbolo em seus incontáveis artigos e livros de texto. 

Neste artigo, apelarei para o lado intuitivo e indutivo do leitor para mostrar que, em se tratando de resultados ousados, nada resiste à uma aventura algébrica, e, na matemática, uma manipulação descompromissada de resultados conhecidos podem muito bem  levar à resultados novos válidos. Esta era a virtuose de Euler, um dos melhores "matemágicos" de todos os tempos.

O resultado da série infinita [;\frac{1}{1^2}+\frac{g al^2}+\frac{1}{3^2}+...;]( soma do recíproco dos quadrados perfeitos ) está relacionado com o número [;\pi;]de uma maneira inesperada que só este prolífero calculista percebeu, como veremos a seguir.

Partirei da equação cúbica completa

[;a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3=0;]  

Se [;x_1;], [;x_2;] e [;x_3;] são as raízes desta equação, usando as relações de Girard, temos:


[;\frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3}=\frac{\frac{a_1}{a_3}}{-\frac{a_0}{a_3}}= - \frac{a_1}{a_0};] 

Euler considerou a equação polinomial de grau infinito

[;a_o +a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+...=0;] 

supostamente contendo infinitas soluções e estendeu (!) o resultado anterior:

[;\frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+...=\frac{x_1x_2...+x_1x_3...+x_2x_3...+...}{x_1x_2x_3...}=\frac{\frac{a_1}{a_3}}{-\frac{a_0}{a_3}}= - \frac{a_1}{a_0};]  ( 1  ) 

Considerando estas raízes como zeros da função polinomial infinita [;P(x);], temos

[;P(x)=a_o+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+... \Rightarrow P(0)=a_0;]
[;P^{(1)}(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+... \Rightarrow P^{(1)}(0)=a_1;]

[;P^{(2)}(x)=2a_2+6a_3x+12a_4x^2+...\Rightarrow P^{(2)}(0)= 2!a_2;]

[;P^{(3)}(x)=6a_3+24a_4x+...\Rightarrow P^{(3)}(0)=3!a_3;]
[;...............................................................................;] 

Portanto,

[;P(x)=P(0)+P^{(1)}(0)x+\frac{P^{(2)}(0)}{2!}x^2+\frac{P^{(3)}(0)}{3!}x^3+...;]  


As derivadas sucessivas da função trigonométrica, [;f(x)=\sin (x );] , são

[;f(x)=\sin(x) \Rightarrow f(0)=0;] 

[;f^{(1)}(x)=\cos(x) \Rightarrow f^{(1)}(0)=1;] 

[;f^{(2)}(x)=-\sin (x) \Rightarrow f^{(2)}(0)=0;] 

[;f^{(3)}(x)= -\cos (x) \Rightarrow f^{(3)}(0)=-1;] 

[;f^{(4)}(x)= \sin (x) \Rightarrow f^{(4)}(0)=0;] 

e  a partir da última derivada, os resultados se repetem [;0;],[;1;],[;0;] ,[;-1;], etc. 

De acordo com Euler, funções com iguais derivadas sucessivas são iguais. Na existência de uma função polinomial infinita [;P(x);] de mesmas derivadas sucessivas que [;f(x)= \sin(x);], temos

[;f(x)=\sin (x)=P(x)= x-\frac{x^3}{3!}-\frac{x^5}{5!}+ \frac{x^7}{7!}-...;] 

Dividindo por [; x;] e pensando como equação,

[;1-\frac{x^2}{3!}-\frac{x^4}{5!}+ \frac{x^6}{7!}-...=0;] ( 2 )

Substituindo [;x^2;] por [;w;], temos 

[;1-\frac{w}{3!}-\frac{w^2}{5!}+ \frac{w^3}{7!}-...=0;] ( 3 ) 

Se as raízes de  ( 2 ) são [;\pm \pi;], [;\pm 2 \pi;], [;\pm 3 \pi;],..., segue-se que as raízes de ( 3 ) são [;(\pi)^2;], [;(2\pi)^2;],[;(3\pi)^2;],..... Assim, a soma dos inversos das raízes de ( 3 ), utilizando (1), é

[;\frac{1}{(\pi)^2}+ \frac{1}{(2 \pi)^2}+\frac{1}{(3 \pi)^2}+...=-\frac{-\frac{1}{3!}}{1}=\frac{1}{6}\Rightarrow;] 

[;\frac{1}{1^2}+ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...=\frac{(\pi)^2}{6}\Rightarrow;]




Esta é uma das mais belas expressões infinitas com o uso do número [;\pi;] que já foram concebidas  pela mente humana.


 *

[;\rightarrow;] A primeira prova de que [;\pi;] é irracional foi apresentada em [;1761;] pelo suíco Johann Lambert, [;1728-1777;], à Academia de Berlim. Seu argumento partiu da prova de que, se [;x \neq 0;] for racional , então [;tan (x);] não pode ser racional. Já que [;tan (\pi / 4)=1;], racional, segue-se que [;\pi/4;] é irracional,  em consequência de [;\pi;].

 

[;\rightarrow;] [;\pi;] nunca pode ser raíz de uma equação polinomial de coeficientes inteiros pelo fato dele ser um número transcendente ( não-algébrico ). O alemão Lindermann, [;1852-1939;], para demonstrar isso, em [;1882;], com uma estratégia semelhante à de Lambert, primeiro provou que qualquer solução de [;e^{ix}+1=0;] é transcendente. Como [;x=\pi;] satisfaz esta equação, logo ele é não-algébrico. Isto põe fim as tentativas seculares ( era moda em várias épocas ) de construir, com régua e compasso, um quadrado cuja área é igual a de um círculo dado ( quadratura do círculo ), porque tais construções só são possíveis se os números envolvidos forem algébricos.


_ * _


Definição mais elegante:
 [;\pi;]é a área de um círculo cujo raio é igual a um.

_ * _



FELIZ DIA DO [; \pi;]( [;3-14;]) A TODOS OS AMANTES DA MATEMÁTICA!!!



REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 



Imagens: http://harry-j-smith-memorial.com/Pi/PiWhat.html
              http://www.hierophant.com.br/arcano/posts/view/X_Parser/112

6 comentários:

  1. Excelente artigo Aloísio! Isso mostra que Euler deve figurar entre as mentes mais brilhantes da história de matemática, por tanta dedicação e contribuição!

    Feliz dia do PI!!

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  2. Obrigado, Kleber!

    Sem dúvidas Euler estar na mesma faixa que Arquimedes, Newton e Gauss.

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  3. Oi Teixeira! Muito bom artigo! Euler provou que em matemática: Ousar é preciso(=necessário) mas ousar não é preciso(=formal). Abçs

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  4. Obrigado Tavano, ousar é preciso para descobrir. O rigor pode vir depois.

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  5. Olá Aloísio!!!!

    Maravilha de postagem sobre a o número Pi! O "matemágico" Euler, que não enxergava nada foi um gênio em ver com o seu poder mental, tantas saídas e soluções para o cálculo, como é o caso para esse seu trabalho dessa série infinita e tão bem explicada aqui em sua postagem!!!!
    Parabéns, parceiro e creia, a sua contribuição é de suma importância para quem estiver estudando esse conteúdo!!!!

    Um abraço!!!!!

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    1. Oi, amigo Valdir!

      Para Euler, calcular era respirar. Bem, quando ele perdeu visão ele continuou respirando, logo...

      Outro abraço!

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