A letra grega ( pí ) foi utilizada para representar a razão ( ) da circunferência pelo seu diâmetro, em , por William Jones, , na sua Synopsis Palmariorum Matheseos, or A New Introduction to the Mathematics.
No entanto foi o matemático suiço Leonhard Euler, , quem a popularizou, no uso calejado deste símbolo em seus incontáveis artigos e livros de texto.
No entanto foi o matemático suiço Leonhard Euler, , quem a popularizou, no uso calejado deste símbolo em seus incontáveis artigos e livros de texto.
Neste artigo, apelarei para o lado intuitivo e indutivo do leitor para mostrar que, em se tratando de resultados ousados, nada resiste à uma aventura algébrica, e, na matemática, uma manipulação descompromissada de resultados conhecidos podem muito bem levar à resultados novos válidos. Esta era a virtuose de Euler, um dos melhores "matemágicos" de todos os tempos.
O resultado da série infinita ( soma do recíproco dos quadrados perfeitos ) está relacionado com o número de uma maneira inesperada que só este prolífero calculista percebeu, como veremos a seguir.
Partirei da equação cúbica completa
Se , e são as raízes desta equação, usando as relações de Girard, temos:
Euler considerou a equação polinomial de grau infinito
supostamente contendo infinitas soluções e estendeu (!) o resultado anterior:
( 1 )
Considerando estas raízes como zeros da função polinomial infinita , temos
Portanto,
As derivadas sucessivas da função trigonométrica, , são
e a partir da última derivada, os resultados se repetem ,, ,, etc.
De acordo com Euler, funções com iguais derivadas sucessivas são iguais. Na existência de uma função polinomial infinita de mesmas derivadas sucessivas que , temos
Dividindo por e pensando como equação,
( 2 )
Substituindo por , temos
( 3 )
Se as raízes de ( 2 ) são , , ,..., segue-se que as raízes de ( 3 ) são , ,,..... Assim, a soma dos inversos das raízes de ( 3 ), utilizando (1), é
Esta é uma das mais belas expressões infinitas com o uso do número que já foram concebidas pela mente humana.
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A primeira prova de que é irracional foi apresentada em pelo suíco Johann Lambert, , à Academia de Berlim. Seu argumento partiu da prova de que, se for racional , então não pode ser racional. Já que , racional, segue-se que é irracional, em consequência de .
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nunca pode ser raíz de uma equação polinomial de coeficientes inteiros pelo fato dele ser um número transcendente ( não-algébrico ). O alemão Lindermann, , para demonstrar isso, em , com uma estratégia semelhante à de Lambert, primeiro provou que qualquer solução de é transcendente. Como satisfaz esta equação, logo ele é
não-algébrico. Isto põe fim as tentativas seculares ( era moda em
várias épocas ) de construir, com régua e compasso, um quadrado cuja
área é igual a de um círculo dado ( quadratura do círculo ), porque tais
construções só são possíveis se os números envolvidos forem
algébricos.
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Definição mais elegante:
é a área de um círculo cujo raio é igual a um.
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Imagens: http://harry-j-smith-memorial.com/Pi/PiWhat.html
http://www.hierophant.com.br/arcano/posts/view/X_Parser/112
http://www.hierophant.com.br/arcano/posts/view/X_Parser/112
Excelente artigo Aloísio! Isso mostra que Euler deve figurar entre as mentes mais brilhantes da história de matemática, por tanta dedicação e contribuição!
ResponderExcluirFeliz dia do PI!!
Obrigado, Kleber!
ResponderExcluirSem dúvidas Euler estar na mesma faixa que Arquimedes, Newton e Gauss.
Oi Teixeira! Muito bom artigo! Euler provou que em matemática: Ousar é preciso(=necessário) mas ousar não é preciso(=formal). Abçs
ResponderExcluirObrigado Tavano, ousar é preciso para descobrir. O rigor pode vir depois.
ResponderExcluirOlá Aloísio!!!!
ResponderExcluirMaravilha de postagem sobre a o número Pi! O "matemágico" Euler, que não enxergava nada foi um gênio em ver com o seu poder mental, tantas saídas e soluções para o cálculo, como é o caso para esse seu trabalho dessa série infinita e tão bem explicada aqui em sua postagem!!!!
Parabéns, parceiro e creia, a sua contribuição é de suma importância para quem estiver estudando esse conteúdo!!!!
Um abraço!!!!!
Oi, amigo Valdir!
ExcluirPara Euler, calcular era respirar. Bem, quando ele perdeu visão ele continuou respirando, logo...
Outro abraço!