terça-feira, 24 de abril de 2012

036-Densidade e Gravidade


Quanto vale seu peso no ouro?

A densidade [;d;] de um corpo é a relação entre sua massa [;M;] e seu volume [;V;].

[;d=\frac{M}{V};] (1)

Observem que é uma função do inverso do cubo.

Se o corpo for uma esfera de raio [;R;], seu volume [;V=\frac{4}{3}\pi R^3;] substituído em (1), resulta em

[;d= \left(\frac{3}{4\pi} \right) \frac{M}{R^3};], com [;\frac{3}{4\pi}=0,238...;](2)

E se [;R;] for o raio de um planeta , então [;d;] é a densidade média do mesmo.

Exercício resolvido [;1;]: Qual é a densidade média do planeta Terra sabendo que tem massa de [;M=5,98.10^{24} Kg;] e  raio de [;R=6,37.10^6 m;]? Vejamos,

Resolução:

[;d=(0,238..).\frac{5,98.10^{24}}{(6,37.10^6)^3}=\frac{(0,238...).5,98}{6,37^3}.10^{24-18} = 0,00551.10^6;]

[;\Rightarrow d = 5510 kg/m^3;]

Uma densidade próxima ao óxido de zinco que tem [;d=5570kg/m^3;] .




 A Terra é o planeta mais denso do Sistema Solar.

[;\rightarrow;] Se a aceleração da gravidade [;g_x;] , na superfície de um planeta, for dada em função da sua densidade média [;d_x;], então [;g_x;] é diretamente proporcional ao raio [;R_x;] do mesmo. Para esta afirmação ser verdadeira,  a aceleração da gravidade de altitude não deve ser considerada.

Justificativa:

 [;d_x= \left(\frac{3}{4\pi} \right) \frac{M_x}{R_x^3}\Rightarrow d_x= \left(\frac{3}{4\pi} \right) \frac{M_x}{R_x^2}.\frac{1}{R_x} \Rightarrow d_x= \left(\frac{3}{4\pi} \right) \frac{g_x}{G}.\frac{1}{R_x};] 

[;\Rightarrow g_x= \left(\frac{4 \pi G}{3}\right) d_xR_x;], onde

[;g_x;] é a aceleração da gravidade na superfície do planeta;
[;d_x;] é a densidade média do planeta;
[;R_x;] o raio do planeta.

[;\Lambda=\frac{4 \pi G}{3};], batizo de constante de gravitação universal de superfície ( mesma unidade de [;G;] ) e vale [;\Lambda = 2,79.10^{-10}SI;].

Exercício resolvido [;2;] : Qual seria a aceleração da gravidade [;g_o;] de nosso planeta se ele fosse constituído de ouro maciço? Dados: raio da Terra [;R=6,37.10^6 m;] e densidade do ouro [;d_o=19300 Kg/m^3;].



Resolução: [;g_0= \Lambda d_o R \Rightarrow g_0=(2,79.10^{-10})(19300)(6,37.10^6);]

[;\Rightarrow g_o=34,3m/s^2;]

Exercício proposto: Qual seria a aceleração da gravidade [;g_a;] de nosso planeta se ele fosse constituído completamente de água ( desde a superfície até o núcleo )? Dados: raio da terra [;R=6,37.10^6 m;] e densidade da água [;d_a=1000kg/m^3;] (à [;4^o C;] ). Obs: Comparem com a aceleração da gravidade da Lua que é de [;g_l=1,7m/s^2;].



Vejam mais essa!!: http://viajeaqui.abril.com.br/materias/noticias-agua-novo-planeta

Para saber mais:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Terra

Imagens:
http://aborigine42.blogspot.com.br/2011/08/origem-da-raca-humana-mineiros-escravos.html
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%93xido_de_zinco
http://ultradownloads.com.br/papel-de-parede/Esfera-de-Ouro/
http://natrilhadoschacais.blogspot.com.br/2011/06/perdeu-playboy-perdeu-passa-garrafa.html
http://criaturapop.zip.net/
http://nenempoemaecultura.blogspot.com.br/2011/04/22-de-abril-dia-do-planeta-terra.html

Postado por às 23:28

2 comentários:

  1. Jairo Grossi18 de junho de 2012 às 17:09

    Aloisio.
    De fato muito interessante esta relação entre a densidade e a gravidade de um planeta. Fiz o cálculo do exercício proposto, supondo-se que a Terra fosse feita só de água, e encontrei um valor aproximado de 1,78 m/s², bem próximo da gravidade da Lua. Apenas uma ressalva (típica de professores de exatas): A gravidade da Terra, como sabemos é um pouco maior nos polos do que no equador, justamente pelo fato de não ser uma esfera perfeita. No caso desta fórmula que relaciona a densidade com a gravidade podemos considerar o raio médio da Terra para encontrar um valor da gravidade média na superfície. para calcular o valor da gravidade em função das coordenadas de um certo local específico da Terra o problema seria muitas vezes mais complexo, certo?

    Parabéns pela postagem.
    Abraço.

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  2. Aloisio Teixeira18 de junho de 2012 às 18:23

    Oi, Jairo!

    De fato, considerando a Terra uma esfera imperfeita como ela é, fica realmente mais específico o cálculo da gravidade e,em vez de considerar o raio do planeta, seria conveniente usar a altitude local, porque trata-se apenas de distância solo-centro.

    Obrigado pela visita, amigo!

    Abraços.

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