terça-feira, 24 de abril de 2012

037-Limite da Série Infinita Mista

Neste artigo, veremos o limite da soma da seguinte série infinita polinomial-exponencial:

 onde [;B \in \mathbb{R};] , com  [;|B|>1;] e [;P(n);] é um polinômio de grau [;g \geq 1;].

Este  somatório [;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{P(n)}{B^n};]é um  caso particular de [;\sum_{n=1}^n A^nP(n);] quando [;A=1/B;], [;|B|>1;] e [;n \rightarrow \infty;].

Utilizaremos integração natural por partes.

No post Somatório Misto e Integral N por Partes  foi demonstrado que

     [;\sum_{n=1}^n A^nP(n)= \rfloor \lceil_1^{n+1}{A^nP(n)= \left[\frac{A^n}{A-1}P(n)-\frac{A}{A-1} \rfloor \lceil {A^n P_1(n) \right]_1^{n+1};]

Podemos achar uma série finita para [;\rfloor \lceil A^nP(n);] cujo número de parcelas seja [;g+1;], onde não contenha termos em integração natural. Observem as recorrências:

[;\rfloor \lceil A^nP(n)=\frac{A^n}{A-1}P(n)-\frac{A}{A-1} \rfloor \lceil A^n P_1(n);] (1)

[;\rfloor \lceil A^nP_1(n)=\frac{A^n}{A-1}P_1(n)-\frac{A}{A-1} \rfloor \lceil A^n P_2(n);] (2)

[;\rfloor \lceil A^nP_2(n)=\frac{A^n}{A-1}P_2(n)-\frac{A}{A-1} \rfloor \lceil A^n P_3(n);] (3)


..................................................................................... 

[;\rfloor \lceil A^nP_{g-2}(n)=\frac{A^n}{A-1}P_{g-2}(n)-\frac{A}{A-1} \rfloor \lceil A^n P_{g-1}(n);] (g-1)

[;\rfloor \lceil A^nP_{g-1}(n)=\frac{A^n}{A-1}P_{g-1}(n)-\frac{A}{A-1} \rfloor \lceil A^n P_{g}(n);] (g)

Na expressão (g), [;P_g(n)=k \neq 0;] é uma constante e [;\rfloor \lceil A^n=\frac{A^n}{A-1};]. Substituindo  (g) em (g-1) que por sua vez substitui em (g-2), etc, sempre procedendo com as substituições nesta ordem (g) [;\rightarrow;] (g-1)[;\rightarrow;](g-2)[;\rightarrow;](g-3)[;\rightarrow;]...[;\rightarrow;](3)[;\rightarrow;](2)[;\rightarrow;](1), vamos obter, para [;\rfloor \lceil A^nP(n);], a seguinte expressão:

[;\rfloor \lceil A^nP(n)=\frac{A^n}{(A-1)^1}.P(n) -\frac{A^{n+1}}{(A-1)^2}.P_1(n)+\frac{A^{n+2}}{(A-1)^3}.P_2(n)-...(-1)^g.\frac{A^{n+g}}{(A-1)^{g+1}}.P_g(n);]

Portanto, [;\sum_{n=1}^{n} A^nP(n)= \rfloor \lceil _1^{n+1} A^nP(n)=;]

[;=\left[\frac{A^n}{(A-1)^1}.P(n) -\frac{A^{n+1}}{(A-1)^2}.P_1(n)+\frac{A^{n+2}}{(A-1)^3}.P_2(n)-...(-1)^g.\frac{A^{n+g}}{(A-1)^{g+1}}.P_g(n) \right]_1^{n+1} \Rightarrow;] 

[;\sum_{n=1}^{n} A^nP(n)=;]

[;=\left(\frac{A^{n+1}}{(A-1)^1}.P(n+1) -\frac{A^{n+2}}{(A-1)^2}.P_1(n+1)+\frac{A^{n+3}}{(A-1)^3}.P_2(n+1)-...(-1)^g.\frac{A^{n+g+1}}{(A-1)^{g+1}}.P_g(n+1) \right);]

 [;- \left(\frac{A^1}{(A-1)^1}.P(1) -\frac{A^{2}}{(A-1)^2}.P_1(1)+\frac{A^{3}}{(A-1)^3}.P_2(1)-...(-1)^g.\frac{A^{g+1}}{(A-1)^{g+1}}.P_g(1) \right);]

[;\rightarrow;] Se [;|A|<1;] e neste caso, como [;\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{A^{n+i}}{(A-1)^i}P_{(i-1)}(n+1)=0;], temos

[;\sum_{n=1}^{\infty} A^nP(n)=;]

[;0- \left(\frac{A}{A-1}\right)^1P(1) +\left(\frac{A}{A-1}\right)^2P_1(1)-\left(\frac{A}{A-1}\right)^3P_2(1)+...-(-1)^g.\left(\frac{A}{A-1}\right)^{g+1}P_g(1);] 

[;\rightarrow;] E fazendo [;A=1/B;], com [;|B|>1;], temos que [;\frac{A}{A-1}=-\frac{1}{B-1};]. Substituindo,


[;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{P(n)}{B^n}=;]

[;\left(\frac{1}{B-1}\right)^1P(1) +\left(\frac{1}{B-1}\right)^2P_1(1)+\left(\frac{1}{B-1}\right)^3P_2(1)+...+\left(\frac{1}{B-1}\right)^{g+1}P_g(1);] 

Aqui vemos a importância dos primeiros valores das derivadas naturais ( diferenças finitas ) consecutivas de [;P(n);] que podem ser obtidas no triângulo das variações. 



EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 

Exercício [;1;] - Calcular [;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{B^n};]   

Resolução: Temos, 

[;P(n)=n \Rightarrow P(1)=1;]
[;P_1(n)=1 \Rightarrow P_1(1)=1;]

Assim,

[;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{B^n}=\left(\frac{1}{B-1}\right).1+\left(\frac{1}{B-1}\right)^2.1=\frac{B}{(B-1)^2};] 

Exemplos:

[;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}=\frac{2}{(2-1)^2}=2;]

[;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n}=\frac{3}{(3-1)^2}=\frac{3}{4};]

[;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{100^n}=\frac{100}{(100-1)^2}=\frac{100}{9801};]


Exercício [;2;]: Calcular [;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{7^n};]

Resolução: Temos,

 [;P(n)=n^2 \Rightarrow P(1)=1;] 
       [;P_1(n)=2n+1 \Rightarrow P_1(1)=3;] 
[;P_2(n)=2 \Rightarrow P_2(1)=2;] 

Logo,

[;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{7^n}= \left( \frac{1}{7-1}\right).1+\left( \frac{1}{7-1}\right)^2.3+\left( \frac{1}{7-1}\right)^3.2=\frac{7}{27};] 

Vamos ver um caso agora em que utilizaremos o triângulo das variações.


Exercício [;3;] : Calcular  [;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^4-5n^3+n-8}{2^n};]

Resolução: Primeiramente, sendo [;g=4;] o grau de [;P(n);], calculamos os [;g+1=5;] primeiros valores desta função:
[;P(1)=-11;], [;P(2)=-30;], [;P(3)=-59;], [;P(4)=-68;] e [;P(5)=-3;]

Com estes valores iniciais do polinômio, fazemos o triângulo das variações, onde, a partir da segunda linha, cada número é a diferença de dois números da linha superior. 

                                        -11       -30       -59        -68         -3
                                             -19       -29        -9          65
                                                 -10         20        74
                                                         30         54
                                                               24

Na diagonal esquerda se encontram os primeiros valores das diferenças finitas consecutivas de [;P(n);]


[;P(1)=-11;] , [;P_1(1)=-19;], [;P_2(1)=-10;], [;P_3(1)=30;] e [;P_4(1)=24;].
Portanto,


[;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^4-5n^3+n-8}{2^n}=;]


[;=\left(\frac{1}{2-1}\right).P(1)+;][;\left(\frac{1}{2-1}\right)^2.P_1(1)+;][;\left(\frac{1}{2-1}\right)^3.P_2(1)+;][;\left(\frac{1}{2-1}\right)^4.P_3(1)+;][;\left(\frac{1}{2-1}\right)^5.P_4(1);]


[;=-11+(-19)+(-10)+30+24=14;]


_*_

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9 comentários:

  1. Muito interessante esta técnica de calcular somatórios. Além disso, notamos que esta técnica é curta e potente, dispensando longos cálculos efetuados através de outras técnicas, tais como a derivada normal. Parabéns pelo post.

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  2. Obrigado, Prof! A chave da questão é que, nas substituições de recorrência, no termo [;\Gamma \left{A^nP_g(n)\right};], [;P_g(n)=k;] é uma constante, permitindo uma fácil integração natural: [;\Gamma \left{A^nP_g(n)\right}=\Gamma \left{A^n.k\right}=\frac{A^n}{A-1}.k=\frac{A^n}{A-1}.P_g(n);], eliminando, assim, o sinal de integração.

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  3. Oi, Teixeira! Um resultado geral e simples de fazer. Muito bom! No exercício 3, não seria P(3)=-59 em vez de P(30)? Outra coisa: Exercício 3:P4(1)=24=4! Exercício 2: P2(1)=2=2!. Será que Pn(1)=n!?...Obrigado...abçs

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  4. Blz, Tavano? Obrigado!

    No post poupei os leitores do trabalho braçal que tive com as recorrências...

    Valeu, já corrigi o deslize, com P(3), obrigado!

    Pode ser provado que, para um polinômo P(n)=an^g+..., temos P_g(n)=P_g(1)=ag! igual a derivada g-ésima de P(n),já que trata-se de uma constante.

    Até mais!

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  5. Oi, Teixeira! Havia algo me cutucando a cabeça e agora lembrei: Seja P(x)=x^p e seja Pn(x) a enésima derivada natural de P(x) então Pn(0)=P(n;p). onde P(n;p) é o preenchimento de n elementos tomando-se p elementos, não consigo pensar direito, mas vê se isso te ajuda!...Obrigado...abçs

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  6. Muito bom resultado, Tavano! Verei como posso usar isso.

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  7. Cara, adorei o resultado. Fórmula muito interessante. Eu acho que dá para usar este método para converter séries em que P(n) não seja polinômio, mas que possa ser escrita em um série de potência; tipo p(n)=sen(n) e a expandindo por taylor. Acho que dá para converter esse tipo de séries em outras diferentes. Assim daria para converter algumas séries com termos como tg, sen, ou pior em séries mais simples.
    P.S.: Adorei seu blog. No inicio levei um susto com o post; pensei que o gamma que voce tava usando era a função gama da análise e não integral discreta... (=

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  8. Oi, Hugo!

    Para usar o método com outras funções, temos que ter uma maneira fácil de achar as primeiras derivadas naturais f1(1), f2(1), f(3)(1), etc, de, por exemplo, f(n)=sen(n).

    Mas a questão toda está justamente no "etc", porque para funções que não sejam polinomiais, estas derivadas N são em número infinito. Assim, eu apenas estaria transformando uma soma infinita em outra soma infinita.

    Ficaria tipo assim, [1/(B-1)]f(1)+[1/(B-1)^2]f_1(1)+[1/(B-1)^3]f_2(1)+..., outra série infinita.

    No papel, quando trabalho com a integral natural(discreta) uso um "esse" reticulado ( em vez de alongado ). No blog uso a letra grega Gamma maiúscula mas por questão de gosto. Mas acho que o contexto do link dado serviu para sanar as dúvidas.

    Obrigado por visitar o blog!

    Um abraço!

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  9. muito bom o seu blog
    estive estudando essas series e coincidentemente conseguir chegar a resultados semelhantes aos seus, sou um amador na matemática e nem mesmo sabia o nome dessas series. ainda não chequei no seu nível de calculo mais estou quase lá. consegui apenas fazer algumas demonstrações como a transformada de euler para calculo de series alternadas.

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