Sendo um número real não-negativo, a soma infinita dos inversos das potências nos fornece interessantes exemplos de séries divergentes ou convergentes. Hoje mesmo eu estava me indagando: "Se é divergente e é convergente, então qual o menor valor de de forma que
seja convergente?" Esta pergunta minha se revelou equivocada porque não existe nestas condições, de forma que diverge se e converge se . Vamos dividir esta afirmação em dois teoremas.
Teorema 1. Se , então diverge.
Demonstração.
Primeiramente, se e vamos ter
Demonstração.
Primeiramente, se e vamos ter
Agora, para a desigualdade , temos e , com as somas parciais . Logo, o fato de ser divergente induz também a ser.
Teorema 2. Se , converge.
Demonstração: Seja tal que . Assim,
Fazendo , verificamos que o fato de é importante porque faz com que .
Portanto,
Portanto,
é uma majoração fixa para a soma , com , por maior que seja . Logo existirá algum limite quando de forma que , caracterizando esta série como convergente.
Referência Bibliográfica: Cálculo com Geometria Analítica V2, Simmons, Ed. McGraw-Hill
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