sábado, 19 de maio de 2012

042-Área de Intersecção Circular-Raios Iguais


Sejam dois círculos de raios [;r_1=r_2=r;]. Na intersecção entre estes dois círculos, seja [;\theta;] o ângulo, medido em radianos, formado entre os raios de um dos círculos, que interceptam os pontos de intersecção ( [;A;] e [;C;] ) - veja diagrama. Então a área [;I;] de intersecção é

 [; I=r^2(\theta - sen \theta);]


   DEMONSTRAÇÃO

Lembrando que

[;\rightarrow;] Se [;\alpha;] é um ângulo em graus, então [; \theta = \frac{\alpha \pi}{180};] é o mesmo em radianos; e

[;\rightarrow;] Se [;\alpha;] é também ângulo de setor de círculo de raio [;r;], então

[;S_c=;]área do setor circular [;=\frac{\alpha \pi r^2}{360}=\frac { \alpha \pi}{180} \frac{r^2}{2}=\frac{\theta r^2}{2};]; e ainda

[;\rightarrow;] [;sen(2u)=2sen(u)cos(u);].

diagrama [;1;]
 Vejamos,

A área [;I;] é o dobro da área [;U;] do segmento circular [;ASC;].

E [;U=;] área [;S_c;] do setor circular [;OASC;] menos a área [;T;] do triângulo [;OAC;].

Mas,
[;T=2. \frac{AB.OB}{2}=AB.OB=r.sen \left(\frac{\theta}{2} \right). r.\cos \left( \frac{\theta}{2} \right)= \frac{r^2}{2}.sen \theta;]
 e
[;S_c= \frac{\theta.r^2}{2};]

Logo, [;I=2U=2(Sc-T)=2 \left( \frac{\theta.r^2}{2}-\frac{r^2}{2}.sen \theta \right) \Rightarrow I=r^2(\theta - sen \theta);]


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

[;1);] Calcular a área de intersecção entre dois círculos de raios iguais cuja distância entre os centros é [;d=r=1cm;].

Resolução: Pelas condições do problema e conforme o diagrama [;1;], temos [;OB=\frac{d}{2}=\frac{r}{2};]  e  [;\cos \left(\frac {\theta}{2}\right)=\frac{OB}{r}=\frac{r/2}{r}=\frac{1}{2};][;\Rightarrow \frac{\theta}{ 2}= \frac{\pi}{3} rad \Rightarrow \theta = \frac{2 \pi}{3} rad;]

Portanto,[;I=r^2(\theta -sen \theta )=1^2 [ \frac{2 \pi}{3} - sen \left( \frac{ 2\pi}{3}\right) ]= \frac{2 \pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} ;]

Resposta: [;I=\frac{4 \pi - 3 \sqrt{3}}{6} \approx 1,228 cm^2;]

Obs: Comparando com a área de um destes círculos que é [;A= \pi r^2= \pi. 1^2 = \pi \approx 3,141cm^2;], a área desta intersecção é pouco mais que [;39;] por cento.


[;2);] Um fazendeiro quer delimitar três terrenos formados pela intersecção de dois círculos de raios iguais [;r_1=r_2=r=20m;], conforme o diagrama abaixo, de forma que as áreas [;A;], [;B;] e [;C;] sejam iguais.
diagrama [;2;]

Na primeira fase de construção destes cercados, é importante para ele fixar os centros [;O_1;] e [;O_2;] destes círculos no solo, de forma que esta condição se estabeleça. Calcular, então, a distância ideal entre os centros. Obs: como o problema é prático, pode-se usar de todo conhecimento e ferramentas matemáticas a sua disposição.

Resolução: Tendo em vista que [;B=C;]  e [;B+C=\pi r^2;], a área de intersecção é a metade da área de um dos círculos, ou seja [;I=B=\frac{\pi r^2}{2};].

Ainda pelo diagrama [;1;], verificamos que a distância entre os centros é dado por [;d=2.OB=2r.\cos \left(\frac{\theta}{2}\right);] . Vamos calcular [;\theta;].

Neste caso,  

[;I=\frac{\pi r^2}{2} \Rightarrow;]

[;r^2(\theta - sen \theta )= \frac{\pi r^2}{2} \Rightarrow;]

[;\theta - sen \theta= \frac{\pi}{2};]

Temos então, uma equação trigonométrica em [;\theta;] cuja solução é igual ao zero da função

[;f(\theta)= \theta - sen \theta -\frac{\pi}{2};]

[;I);] É fácil perceber que
para [;\theta \rightarrow - \infty;], temos [;f(\theta) \rightarrow - \infty;]

para [;\theta \rightarrow + \infty;],  temos [;f(\theta) \rightarrow + \infty;]

[;II);]Por [;f^'( \theta)= 1-cos \theta=0;] ou [;cos \theta =1;], concluímos que a função [;f(\theta);] possui infinitos pontos críticos no intervalo aberto [;(- \infty, + \infty);] para  [;\theta=...-4 \pi, -2\pi, 0, +2\pi, +4 \pi,...;].

[;III);] Por [;f^''(\theta)=sen \theta;] e como [;f^''( k \pi)=0;], para todo [;k \in \mathbb{Z};], concluímos que  cada ponto crítico de [;f(\theta);] não é  máximo e nem mínimo, mas um ponto de inflexão ( mudança de concavidade ). Disto e por [;I);], deduzimos que a função possui apenas um zero, porque se tivesse pelo menos dois, ela teria, então, pelo menos um máximo local ou um mínimo local ( lembrem-se que [;g(\theta)=sen \theta;] é uma função contínua ).

[;IV);] E como [;f(0)=0 - sen(0)-\frac{\pi}{2}=- \frac{\pi}{2};], já temos todas as informações necessárias para visualizar o esboço do gráfico de [;f(\theta);] ( além de constatar que o único zero é positivo ), veja: 

     
diagrama [;3;]

Situação perfeita para  utilizarmos o método de Newton que no presente caso diz que, sendo [;\theta_x>0;] o zero de [;f(\theta);] e se [;\theta_o>\theta_x ;] é uma aproximação inicial do mesmo, então [; \theta_1= \theta_o - \frac{f(\theta_o)}{f^'(\theta_o);] é uma aproximação melhor, ou seja [;\theta_x < \theta_1 < \theta_o;]. Usando recursivamente esta fórmula, podemos calcular [;\theta_x;] com a precisão que quisermos.

Pela idéia do gráfico, notamos que [;0<\theta_x< 2\pi;], onde [;[2\pi, f(2\pi)];] é o primeiro ponto de inflexão acima do eixo [;O \theta;]. Vamos testar, então, como uma primeira aproximação, [;\theta_o=3;]. Como [;\frac{\pi}{2}=1,5707...;] e usando uma boa calculadora científica ou uma planilha eletrônica (lembrando que os ângulos são em radianos), temos

[; \theta_1=\theta_o - \frac{\theta_o - sen \theta_o -1,5707...}{1-cos \theta_o} \Rightarrow;]

[;\theta_1=3 - \frac{3 - sen (3) -1,5707...}{1-cos (3)} = 2,3526... \rightarrow;]

[;\theta_2=2,3526... - \frac{2,3526... - sen (2,3526...) -1,5707...}{1-cos (2,3526...)} = 2,3102... \rightarrow;]

[;\theta_3=2,3102... - \frac{2,3102... - sen (2,3102...) -1,5707...}{1-cos (2,3102...)} = 2,3098... \rightarrow;] 

[;\theta_4=2,3098... - \frac{2,3098... - sen (2,3098...) -1,5707...}{1-cos (2,3098...)} = 2,3098... ;]

e obtemos o zero de [;f(\theta)= \theta - sen \theta -\frac{\pi}{2};] ou a raiz de [;\theta - sen \theta= \frac{\pi}{2};] com uma precisão de quatro casas decimais: [;\theta_x \approx 2,3098;].

Resposta: Para que as áreas [;A;], [;B;] e [;C;] sejam iguais, a distância ideal entre os centros dos círculos de raios [;r_1=r_2=r=20m;], que formam as mesmas, tem que ser [;d=2r.\cos \left(\frac{\theta}{2}\right) \approx 2.20.\cos\left(\frac{2,3098}{2}\right)=16,160m;].
Obs: A proporção da distância dos centros e um dos raios é [;\frac{d}{r}=0,8080...;]



Referência Bibliográfica
Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, Murray R.Spiegel, Seymour Lipschutz e John Liu, Coleção Schaum, Ed.Bookman, 2011.

Fundamentos de Matemática Elementar-Geometria Plana (9), Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo, Atual Editora, 1996.

Postado por às 14:42

6 comentários:

  1. Interessantíssimo este post. Eu já tinha resolvido apenas o problema do fazendeiro. Mas a abordagem aqui foi muito mais completa, apresentando a fórmula para achar a área de interseção entre os círculos.

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    1. Oi, Paulo.

      Também tem a interessante questão relativa a área de intersecção ser igual a área do quadrado inscrito ( ou outro polígono qualquer ).

      Sobre o problema do fazendeiro, não consegui encontrar sua resolução no seu blog.

      Obrigado.

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  2. Oi, Teixeira! Às vezes a gente despreza um assunto (creio que se chama quadratura das lunas) e você conseguiu arrancar um belo e útil exemplo do método de Newton. Parabéns! abçs

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    1. Oi, Tavano.

      Pesquisei sobre a quadratura das lunas e achei muito interessante.

      De fato, Newton nos legou uma das mais práticas e poderosas ferramentas para resolver equações difíceis.

      Valeu, obrigado.

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  3. O problema do fazendeiro que me refiro é o que você expôs neste post, mas também resolvi a tempos atrás e está nos meus rascunhos. Com este post, o meu rascunho ficou ultrapassado. Abraços!

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  4. Caiu na prova da AFA 2014

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