Sejam dois círculos de raios
DEMONSTRAÇÃO
Lembrando que

diagrama ![1 [;1;]](https://lh4.googleusercontent.com/proxy/ncD5MyJnW7uE005ACW9aLWkwjP6vIcc28dPO7hYVO_b3f4ucEpBjE5CQ=s0-d)
Vejamos,
A área
é o dobro da área
do segmento circular
.
E
área
do setor circular
menos a área
do triângulo
.
Mas,
e
Logo, ![I=2U=2(Sc-T)=2 \left( \frac{\theta.r^2}{2}-\frac{r^2}{2}.sen \theta \right) \Rightarrow I=r^2(\theta - sen \theta) [;I=2U=2(Sc-T)=2 \left( \frac{\theta.r^2}{2}-\frac{r^2}{2}.sen \theta \right) \Rightarrow I=r^2(\theta - sen \theta);]](https://lh5.googleusercontent.com/proxy/IhsaWc3qrO-YjWIAoUjGBkj8wA8akuLcLcJn5skxfb-49_YZI6bZgUP18memKZpqpH6vhiwfQWDchQsfxi0bECXENtGIbx1mTKIQ0DOqjgwRH_02uTbe4IxV7_PQvUab0teRgoynbml139FszoaAOydHB4KGKFeKUON1WcrxOKtql2Oht7b5aeyIWWcTH9sBYOuss82uHJ0hGS40hs-hCXlUKNeRrqyyu6ZpqlE-hMRQOEH0CwDUVKBiisEF0ru7YZuIIASfJN0_CuUtWls97ytBCiGYLQbhXl80HGS3T5eyKw=s0-d)
Calcular a área de intersecção entre dois círculos de raios iguais cuja distância entre os centros é
.
Um fazendeiro quer delimitar três terrenos formados pela intersecção de dois círculos de raios iguais
, conforme o diagrama abaixo, de forma que as áreas
,
e
sejam iguais.
Na primeira fase de construção destes cercados, é importante para ele fixar os centros
e
destes círculos no solo, de forma que esta condição se estabeleça. Calcular, então, a distância ideal entre os centros. Obs: como o problema é prático, pode-se usar de todo conhecimento e ferramentas matemáticas a sua disposição.
Resolução: Tendo em vista que
e
, a área de intersecção é a metade da área de um dos círculos, ou seja
.
Ainda pelo diagrama
, verificamos que a distância entre os centros é dado por
. Vamos calcular
.
![I=\frac{\pi r^2}{2} \Rightarrow [;I=\frac{\pi r^2}{2} \Rightarrow;]](https://lh4.googleusercontent.com/proxy/KDFdD1FLSxWVI0gmQI0Iam0MXvsq_fT0yddKA4NZn4SVBCpP7jZrE8bRqWlV7NAlQ0pIedBpx7zEAvIzJK4kV2gbOWQgU2aXgnrfRmXRaFUtluEg18ePJEkl7qk=s0-d)
![r^2(\theta - sen \theta )= \frac{\pi r^2}{2} \Rightarrow [;r^2(\theta - sen \theta )= \frac{\pi r^2}{2} \Rightarrow;]](https://lh4.googleusercontent.com/proxy/-24RVjLNwHPX5toYvF8XHT8F5bpchWdE-d4qkyVFscsbvEFDd8AcKiT1KmDKUod7aPrp97Pn7agUhtJ7C47EmNe-xIxOsaZKPAFL7kpusHfeou67Cnk4klXO-4jydB_FSaorrqNLq1Wr3hg6fmXfU1uX-72NSNMIxA9RJhlO7uuS0dL4B-nQXsk=s0-d)
É fácil perceber que
Por
ou
, concluímos que a função
possui infinitos pontos críticos no intervalo aberto
para
.
Por
e como
, para todo
, concluímos que cada ponto crítico de
não é máximo e nem mínimo, mas um ponto de inflexão ( mudança de concavidade ). Disto e por
, deduzimos que a função possui apenas um zero, porque se tivesse pelo menos dois, ela teria, então, pelo menos um máximo local ou um mínimo local ( lembrem-se que
é uma função contínua ).
E como
, já temos todas as informações necessárias para visualizar o esboço do gráfico de
( além de constatar que o único zero é positivo ), veja:
Situação perfeita para utilizarmos o método de Newton que no presente caso diz que, sendo
o zero de
e se
é uma aproximação inicial do mesmo, então
é uma aproximação melhor, ou seja
. Usando recursivamente esta fórmula, podemos calcular
com a precisão que quisermos.
![\theta_4=2,3098... - \frac{2,3098... - sen (2,3098...) -1,5707...}{1-cos (2,3098...)} = 2,3098... [;\theta_4=2,3098... - \frac{2,3098... - sen (2,3098...) -1,5707...}{1-cos (2,3098...)} = 2,3098... ;]](https://lh5.googleusercontent.com/proxy/n2iERTxS9_q0SSffY5ciXBGrKFER5L_AhyL8gfouWdDMSTkexU1MT6mMD5vVAnOucf0qTrorlCpF2ZyBX5EAVux93QcfekBhruyUCCayo0cp_nbjwzapSeNsW5kxd-hejdRuGk62whUut0cmxPPlZJwbGKgMB0_ObUq4TS7zvBZJuYM_S24V6nuYlNQim8_pNIOBQFpXkk2bzL2tfKpDHVfARTVxf8O3_r5xyMDK4EDgg7vn=s0-d)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Resolução: Pelas condições do problema e conforme o diagrama
, temos
e ![\cos \left(\frac {\theta}{2}\right)=\frac{OB}{r}=\frac{r/2}{r}=\frac{1}{2} [;\cos \left(\frac {\theta}{2}\right)=\frac{OB}{r}=\frac{r/2}{r}=\frac{1}{2};]](https://lh3.googleusercontent.com/proxy/kWeyKnxKrgFYrWickQ7G-IM3gEZr_9_NP1QhLrjMTPtbGcThPb4dOpOMorFt_1fdqa8I3P2zt4YzoEhr-9K3DhE06kaIb4gh4i00FwuTnUgxebRaPPrQLRhXlxoHa-I6kDqxZABp9d8bcZHevcKZXPVPw9CWqkd1RsSmuJX-rSVuJUDnA9xQJa5uLuN0ib6xfgAIWkTXE6ceGAVPUpe7nYpcs4dlWBmxnVN75g=s0-d)
![\Rightarrow \frac{\theta}{ 2}= \frac{\pi}{3} rad \Rightarrow \theta = \frac{2 \pi}{3} rad [;\Rightarrow \frac{\theta}{ 2}= \frac{\pi}{3} rad \Rightarrow \theta = \frac{2 \pi}{3} rad;]](https://lh3.googleusercontent.com/proxy/dsn7pjFxAzXpKORa--9t8qXwkq26NN_CgiH8viydIpml7s4q6XFUUjZf8xIgUBfXeURAdBiXUm5zaDKd7OPcMoe1XfbepT_5MdZxQzlYNBODg_3FLurDMau1ZpBt9MOVpugyIl246Of4wViA2huaW2HWSNbwM-UDPykR5U14ZbknuzZ23E2JBZ2usOFrETCbloi8Xb5JqcBuS_UH2ql9wHQGzST841EkWqJqc5QpcK6OkHE4sHfXayDI-neZl_B7aw=s0-d)
Portanto,![I=r^2(\theta -sen \theta )=1^2 [ \frac{2 \pi}{3} - sen \left( \frac{ 2\pi}{3}\right) ]= \frac{2 \pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} [;I=r^2(\theta -sen \theta )=1^2 [ \frac{2 \pi}{3} - sen \left( \frac{ 2\pi}{3}\right) ]= \frac{2 \pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} ;]](https://lh5.googleusercontent.com/proxy/7cvzyh8gDeQkbkxHomxEVzr5JYywoL8UfxhqDkjqCHxwcekeMPS69JpxjqtjFzmOxK_aCinNsCHbjEAwUXZjTa5Df_ur0HAczxbrS7lz2Z4MAgz87cJYaDkqMJKs5gc2aI7CwrSEzOQtbZ3bGCHCp5hDOnDE3TF4blaE_fvokJaTYdirBWNVXHlst4tSPvbnnzzr5UGmypaYUIfQ1rjs-yrQqAa8mmHc5henoqo9jPmEXvYgT_7hufrNIv5_y6jnOTJwi2FBDWLOeaASLGS-EXxKtXSJUIn3ueIDT0VLP8vrYvqOKFlPGog7PlJkVJ6aOQajXo0TnyJWb4RY2CqyAoLC3PoBAF8x4hJm4w9xClRX=s0-d)
Resposta: ![I=\frac{4 \pi - 3 \sqrt{3}}{6} \approx 1,228 cm^2 [;I=\frac{4 \pi - 3 \sqrt{3}}{6} \approx 1,228 cm^2;]](https://lh3.googleusercontent.com/proxy/oydvz4RzrlkLBcUO7-tjUKUflBugJBes-MEdIVWVX55w9yxsF65kmN0jq5IA_ECasfC-DS48oSZMWkyZkwXosx81cNlUgfh2MkjHl5t2jZ9fWKou8U_HZCGtNbf7-jsKby6uPC_spKboyXtEluCcmq4Q2L5QpzlNWtJhDTU0=s0-d)
Obs: Comparando com a área de um destes círculos que é
, a área desta intersecção é pouco mais que
por cento.
diagrama
Resolução: Tendo em vista que
Ainda pelo diagrama
Neste caso,
Temos então, uma equação trigonométrica em
cuja solução é igual ao zero da função
para
, temos ![f(\theta) \rightarrow - \infty [;f(\theta) \rightarrow - \infty;]](https://lh3.googleusercontent.com/proxy/VUguPI1anKkSPL1dUl60AqmUVCupjpLjn8PrHrHTSgZPnHWyp_j0QAIlz8-pBRLkUtxGyp9VRpfth3rgrk5giPOVaLL1JPoJtzz_mP5uhBKKUQcthlO2=s0-d)
para
, temos ![f(\theta) \rightarrow + \infty [;f(\theta) \rightarrow + \infty;]](https://lh4.googleusercontent.com/proxy/XhrCq-4XRw2UrjUsNnQ6Iq2EVaN9ocrqNf85o8EVlknA_nhost2RjBNOq-cSRhzrq_eJKMCp_NymFQ1rjDbKs9FgUSQRtZaqxMSRMdmm7U-SsyPi9qVx=s0-d)
diagrama ![3 [;3;]](https://lh6.googleusercontent.com/proxy/RctXmwjyjcSkdt9cfWmc-4gU3_3GNsDvcrVC3glWKd65O_hLK_aTM-My=s0-d)
Pela idéia do gráfico, notamos que
, onde
é o primeiro ponto de inflexão acima do eixo
. Vamos testar, então, como uma primeira aproximação,
. Como
e usando uma boa calculadora científica ou uma planilha eletrônica (lembrando que os ângulos são em radianos), temos
e obtemos o zero de
ou a raiz de
com uma precisão de quatro casas decimais:
.
Resposta: Para que as áreas
,
e
sejam iguais, a distância ideal entre os centros dos círculos de raios
, que formam as mesmas, tem que ser
.
Obs: A proporção da distância dos centros e um dos raios é ![\frac{d}{r}=0,8080... [;\frac{d}{r}=0,8080...;]](https://lh5.googleusercontent.com/proxy/KC25cr2RkAskkhpaRJTZaFsgBJece99jzHmjKx16qa3QkiftlKPJpVszBOyxOZciPpPHHrSUCs5C2YGGP7nZPFjfkwE84iVJ=s0-d)
Referência Bibliográfica
Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, Murray R.Spiegel, Seymour Lipschutz e John Liu, Coleção Schaum, Ed.Bookman, 2011.
Fundamentos de Matemática Elementar-Geometria Plana (9), Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo, Atual Editora, 1996.
Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, Murray R.Spiegel, Seymour Lipschutz e John Liu, Coleção Schaum, Ed.Bookman, 2011.
Fundamentos de Matemática Elementar-Geometria Plana (9), Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo, Atual Editora, 1996.
Interessantíssimo este post. Eu já tinha resolvido apenas o problema do fazendeiro. Mas a abordagem aqui foi muito mais completa, apresentando a fórmula para achar a área de interseção entre os círculos.
ResponderExcluirOi, Paulo.
ExcluirTambém tem a interessante questão relativa a área de intersecção ser igual a área do quadrado inscrito ( ou outro polígono qualquer ).
Sobre o problema do fazendeiro, não consegui encontrar sua resolução no seu blog.
Obrigado.
Oi, Teixeira! Às vezes a gente despreza um assunto (creio que se chama quadratura das lunas) e você conseguiu arrancar um belo e útil exemplo do método de Newton. Parabéns! abçs
ResponderExcluirOi, Tavano.
ExcluirPesquisei sobre a quadratura das lunas e achei muito interessante.
De fato, Newton nos legou uma das mais práticas e poderosas ferramentas para resolver equações difíceis.
Valeu, obrigado.
O problema do fazendeiro que me refiro é o que você expôs neste post, mas também resolvi a tempos atrás e está nos meus rascunhos. Com este post, o meu rascunho ficou ultrapassado. Abraços!
ResponderExcluirCaiu na prova da AFA 2014
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