domingo, 27 de maio de 2012

043-Equação Exponencial Especial

Neste trabalho, [;[u];] significa a parte inteira de [;u;], com [;u \geq 0;] real.

Na presente postagem, veremos algo sobre a equação
com [;U=\mathbb{R}^+;] ou [;U=\mathbb{N}^*;]

onde [;a;], [;b;] e [;c;] são inteiros positivos

Logicamente, com [;x>0;], temos que [;c>a^0+b^0=1+1=2;].

O exposto a seguir são apenas observações a respeito deste caso restrito e base para aprofundamentos - por exemplo, para [;0 <;] ([;a;] e/ou [;b;])[;<1;] e/ou soluções negativas - aos leitores interessados.

Vamos supor [;1 < b < a;] como ponto inicial para algumas conclusões ( se [;1 < a < b;], os resultados seriam análogos ).

Com [;b>1;], temos [;a^x+1<c;] e [;x < log_a (c-1);];

Sendo [;b<a;] temos [;a^x+a^x > c \Rightarrow 2a^x > c;] e [;x > log_a \left(\frac{c}{2} \right);].

Logo, [;1 < b < a;] implica em [;log_a \left(\frac{c}{2} \right) < x < log_a (c-1);].

Este resultado é suficiente para:

[;a);] Usar [; log_a (c-1);] como uma boa aproximação para utilizármos no método de Newton na obtenção de uma solução real com uma certa precisão; e 

[;b);] Investigar o intervalo [;\left[log_a \left(\frac{c}{2} \right) \right] \leq n \leq [log_a(c-1)];] na conclusão sobre uma solução natural.

[;\rightarrow;] Em [;b);], uma boa notícia. Na variação [;\Delta L;] dos limites deste intervalo

[;\Delta L=log_a (c-1) - log_a \left(\frac{c}{2}\right) =log_a \left( \frac{c-1}{c/2}\right);][;=log_a \left(2-\frac{2}{c} \right);][;=log_a w;], com [;1< w < 2;] ( lembrem-se que [;c > 2;] ), temos,
[;1 < b < a;] [;\Rightarrow a>2 \Rightarrow 0 < \Delta L < 1;]   

o que indica que [;\left[log_a \left(\frac{c}{2} \right) \right]=[log_a(c-1)];] ou [;\left[log_a \left(\frac{c}{2} \right) \right]=[log_a(c-1)]-1;].

Ex: [;[2,5]=[2,8];] ou [;[4,9]=[5,3]-1;]

E tendo em vista que [;\left[log_a \left(\frac{c}{2} \right) \right];][; \leq log_a \left(\frac{c}{2} \right);] e [;log_a \left(\frac{c}{2} \right);] já é um limite inferior, [;\left[log_a \left(\frac{c}{2} \right) \right];] pode não ser uma raíz natural. Portanto, caso exista solução em [; \mathbb{N^*};] na equação [;a^n+b^n=c;], com [;a>b;], teremos a certeza de que

[;n= [log_a(c-1)];] (1)

Obs [;1;]: Como a função [;y=u^x;], com [;u>1;], é crescente e sem pontos críticos, não é difícil mostrar que a equação [;a^x+b^x=c;] , conforme condições acima, admite apenas uma solução em [;U=\mathbb{R^}^+;] ou [;U=\mathbb{N}^*;].

Obs [;2;] : Pelo mesmo motivo ( crescente e sem pontos críticos ), a função [;f(x)=a^x+b^x-c;] corta o eixo [;Ox;] em um declive positivo, onde o método de Newton funciona com a primeira aproximação por excesso [; x_0=log_a (c-1);].

Todas as equações a seguir admitem soluções inteiras. Convido os leitores a testarem a eficácia da fórmula (1), utilizando uma calculadora científica, lembrando que

[;u=log_a(c-1)=\frac{ln (c-1)}{ln a};]

com [;a>b;]  e [;n=[u];] é a parte inteira de [;u;].


EXERCÍCIOS PROPOSTOS (Resoluções no post 060 )

[;1);] Resolver a equação em, [;U= \mathbb{N}^*;], [;10^n+5^n=125;]

[;2);] Resolver a equação em, [;U= \mathbb{N}^*;], [;6^n+5^n=1921;].

[;3);] Resolver a equação em, [;U= \mathbb{N}^*;], [;8^n+3^n=33011;]



Referência Bibliográfica ( base )

Fundamentos de Matemática Elementar-Logaritmos (2), Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Carlos Murakami, Atual Editora, 1996.



3 comentários:

  1. Oi, Teixeira! Foi bom você tratar dessas equações porque volta e meia elas aparecem, no UTF em fóruns e essa do "chute" inicial para o método de Newton foi ótima. Certa vez alguém perguntou num fórum se equações desse tipo são resolúveis explicitamente. ninguém respondeu. Eu me convenci de que elas não são resolúveis pelo seguinte: Sabemos que equações algébricas acima do quarto grau não são, EM GERAL, resolúveis, suponhamos que x^5 + x=3 não seja resolúvel, fazendo x=2^y temos 2^5y + 2^y=3 => 32^y+2^y=3, veja agora: se pudermos resolver esta última que é do tipo a^x + b^x=c então teremos resolvido x^5+x=3 que é irresolúvel(teoricamente). Isso é claro não é uma demonstração mas é um forte indício de que a^x+b^x=c não seja resolúvel ao menos com métodos elementares. abçs

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  2. Oi, Tavano!

    Muito curioso o seu comentário. Repare que, para achármos a solução natural de [;x^5+x=246;], conforme sua substituição, basta fazer [;x=2^y;] e temos [;32^y+2^y=246;]. Agora, usando a fórmula deste post, temos [;y<log_{32}246=1,58;]. Logo,[;x=[2^y]=[2^{1,58...}]=3;] e acabamos de resolver uma equação quíntica por um método transcendente!

    Sobre seu esboço de demonstração, achei fantástico.

    Abraços!

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  3. Oi, Teixeira! Ainda bem que você entendeu porque acho que não fui muito claro, e aproveitando gostaria de lembrar que a função [x]=(máximo inteiro) embora tenha uma aparência elementar porque é fácil calcular, na verdade se formos buscar uma fórmula analítica para ela não conheço outro caminho senão o das transformadas de Laplace.

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