segunda-feira, 28 de maio de 2012

044-Expoente de Primo em Fatoração de Fatorial-II

No post Expoente de Primo em Fatoração de Fatorial, vimos como calcular o expoente [;E_p(n!);] do primo [;p<n \in \mathbb{N};] na fatoração de [;n!;]. Naquele artigo, foi demonstrada a fórmula [;E_p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+...+[n/p^r] ;], com [;r=[log_p n];] e [;[u];] é a parte inteira de [;u;] real [;\geq 0;].

Neste, veremos outro processo que é relativo à diferentes bases primas de numeração.

Se queremos saber qual o expoente de [;p=7;] em [;1826!;], podemos fazer também o seguinte:

[;1^o);] Colocamos [;n=1826;] na base [;7;] pelo conhecido método de divisões sucessivas por [;7;] até o quociente ser [;<7;]:

[;1826=260.7+6;]
[;260=37.7+1;]
[;37=5.7+2;]

Pegamos, então, os restos [;6;],[;1;],[;2;]  e o último quociente [;5<7;]. Assim, [;1826=(5216)_7;] ( com a inversão destes valores encontrados ).

[;2^o);] Somamos os dígitos de [;n;] na base [;7;]: [;\Sigma = 5+2+1+6=14;]

[;3^o);] Agora é só aplicar a fórmula

[;E_7(1826!)=\frac{n-\Sigma}{p-1}=\frac{1826-14}{7-1}=\frac{1812}{6}=302;]

Portanto o expoente de [;p=7;] na fatoração de [;n!=1826!;] é [;302;].

Notem que este segundo processo não lida com valores "quebrados", ao contrário do primeiro já visto. Vamos prová-lo por intermédio do seguinte teorema (todos os valores envolvidos são naturais ):

Se [;(a_ra_{r-1}...a_2a_1a_o)_p;] é o número [;n;] na base prima [;p;], então

Demonstração:  Como

[;n=a_rp^r+a_{r-1}p^{r-1}+...+a_2p^2+a_1p+a_o;] 
temos

[;[n/p]=a_rp^{r-1}+a_{r-1}p^{r-2}+...+a_2p+a_1;]

Observem que, [;a_o/p;] foi descartado por ser justamente a parte fracionada ( [;0<a_o/p < 1;] ).

Da mesma forma

[;[n/p^2]=a_rp^{r-2}+a_{r-1}p^{r-3}+...+a2;]

[;..........................................................................;] 

[;[n/p^{r-1}]=a_rp;] 

[;[n/p^r]=a_r;]
Se prosseguirmos, teremos [;[n/p^{r+1}]=[a_r/p]=0;], porque [;a_r<p;] ( [;a_r;]é um dígito de [;n;]na base [;p;] ). Disso tiramos que [;p^r;]é a maior potência de [;p;] que divide [;n;]. Portanto,
 

[;E_p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+...+[n/p^r] ;]

e  aproveitando os resultados de [;[n/p^i];] acima ( somando os segundos membros por coluna de mesmo dígito [;a_i;]), temos

[;E_p(n!)=a_r.\frac{p^r-1}{p-1}+a_{r-1}.\frac{p^{r-1}-1}{p-1}+...+a_2.\frac{p^2-1}{p-1}+a_1 \Rightarrow;]

[;E_p(n!)=\frac{a_rp^r-a_r+a_{r-1}p^{r-1}-a_{r-1}+...+a_2p^2-a_2+a_1p-a_1}{p-1} \Rightarrow;]

[;E_p(n!)=\frac{(n-a_0)-\sum_{i=1}^{r}a_i}{p-1}\Rightarrow;]

[;E_p(n!)=\frac{n-\sum_{i=0}^{r}a_i}{p-1};]

Exercício resolvido: Calcular em quantos zeros termina [;n!=2012!;].

Resolução: Sejam [;s;] e [;t;] os expoentes no produto [;2^s.5^t;] na fatoração de [;2012!;]. Como na sucessão ([;1;] ,[;2;],...,[;2012!;]) existem mais múltiplos de [;2;] do que múltiplos de [;5;], temos que [;t<s;]. Assim, o que definirá a quantidade de zeros em [;2012!;]  será o produto [;2^t.5^t=(2.5)^t=10^t;]. Generalizando, o número de zeros que termina [;n!;] será o valor do expoente de [;p=5;] na fatoração de [;n!;].

Como [;2012=(31022)_5;], temos [;a_4=3;],[;a_3=1;],[;a_2=0;],[;a_1=2;] e[;a_0=2;] e

[;E_5(2012!)=\frac{2012-\sum_{i=0}^{4}a_i}{5-1} =\frac{2012-(3+1+0+2+2)}{4}=501;] 

Resposta: [;2012!;] termina em [;501;] zeros.


Referência Bibliográfica

Funções Aritméticas  - Números Notáveis, de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,1988


5 comentários:

  1. Cara esta publicação tá de parabéns... Ótima mesmo e realmente tem a dúvida que o carinha lá perguntou... Já respondi seu comentário em meu blog e indiquei tbm a publicação para ele ver... Espero que ele tire sua dúvida aqui não é mesmo?! Queria agradecer por comentar lá no meu blog, seus comentários são sempre bem vindos parceiro... Um grande abraço e até breve...

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    1. Oi, Romirys! Obrigado pelo gosto e indicação. Uma vez procurei este assunto na net e não achei. Quando estudei para publicação, tive o prazer em me exercitar em um assunto que desconhecia. Um abraço.

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  2. Incrível não é Aloísio como as coisas se relacionam? Esse negócio de blog é muito bom mesmo. Os Sebá, quem fez a pergunta ao Romirys, é forte na teoria dos números e possivelmente já estaria fazendo alguns rascunhos sobre o assunto, mas acho desnecessário, já que aqui está tão bem exposto. E você meu amigo, o que faz aqui nos Elementos é algo ímpar nos blogs do Brasil. Sucesso e um grande abraço!!

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    1. Oi, Kleber!

      Putz, nem percebi que era o Sebá. Depois fui ver.

      Obrigado, Kleber, pelo incentivo. Prossigamos na nossa missão de disseminar a Rainha das Ciências.

      Outro grande abraço!

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  3. como resolver essa equação: E_5 (x!)=148

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