No post Expoente de Primo em Fatoração de Fatorial, vimos como calcular o expoente do primo na fatoração de . Naquele artigo, foi demonstrada a fórmula , com e é a parte inteira de real .
Neste, veremos outro processo que é relativo à diferentes bases primas de numeração.
Se queremos saber qual o expoente de em , podemos fazer também o seguinte:
Colocamos na base pelo conhecido método de divisões sucessivas por até o quociente ser :
Neste, veremos outro processo que é relativo à diferentes bases primas de numeração.
Se queremos saber qual o expoente de em , podemos fazer também o seguinte:
Colocamos na base pelo conhecido método de divisões sucessivas por até o quociente ser :
Pegamos, então, os restos ,, e o último quociente . Assim, ( com a inversão destes valores encontrados ).
Somamos os dígitos de na base :
Agora é só aplicar a fórmula
Portanto o expoente de na fatoração de é .
Notem que este segundo processo não lida com valores "quebrados", ao contrário do primeiro já visto. Vamos prová-lo por intermédio do seguinte teorema (todos os valores envolvidos são naturais ):
Demonstração: Como
temos
Observem que, foi descartado por ser justamente a parte fracionada ( ).
Da mesma forma
Se prosseguirmos, teremos , porque ( é um dígito de na base ). Disso tiramos que é a maior potência de que divide . Portanto,
e aproveitando os resultados de acima ( somando os segundos membros por coluna de mesmo dígito ), temos
Exercício resolvido: Calcular em quantos zeros termina .
Resolução: Sejam e os expoentes no produto na fatoração de . Como na sucessão ( ,,...,) existem mais múltiplos de do que múltiplos de , temos que . Assim, o que definirá a quantidade de zeros em será o produto . Generalizando, o número de zeros que termina será o valor do expoente de na fatoração de .
Como , temos ,,, e e
Resposta: termina em zeros.
Referência Bibliográfica
Funções Aritméticas - Números Notáveis, de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,1988
Cara esta publicação tá de parabéns... Ótima mesmo e realmente tem a dúvida que o carinha lá perguntou... Já respondi seu comentário em meu blog e indiquei tbm a publicação para ele ver... Espero que ele tire sua dúvida aqui não é mesmo?! Queria agradecer por comentar lá no meu blog, seus comentários são sempre bem vindos parceiro... Um grande abraço e até breve...
ResponderExcluirOi, Romirys! Obrigado pelo gosto e indicação. Uma vez procurei este assunto na net e não achei. Quando estudei para publicação, tive o prazer em me exercitar em um assunto que desconhecia. Um abraço.
ExcluirIncrível não é Aloísio como as coisas se relacionam? Esse negócio de blog é muito bom mesmo. Os Sebá, quem fez a pergunta ao Romirys, é forte na teoria dos números e possivelmente já estaria fazendo alguns rascunhos sobre o assunto, mas acho desnecessário, já que aqui está tão bem exposto. E você meu amigo, o que faz aqui nos Elementos é algo ímpar nos blogs do Brasil. Sucesso e um grande abraço!!
ResponderExcluirOi, Kleber!
ExcluirPutz, nem percebi que era o Sebá. Depois fui ver.
Obrigado, Kleber, pelo incentivo. Prossigamos na nossa missão de disseminar a Rainha das Ciências.
Outro grande abraço!
como resolver essa equação: E_5 (x!)=148
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