domingo, 6 de maio de 2012

039-UTF:Demonstração de Caso Particular-I


Teorema e demonstração enviados pelo leitor Antonio Carlos Tavano, de São Paulo / SP.

Se  [;z;] é um primo qualquer e [;n;] um primo ímpar, então não existem inteiros positivos [; x;]e [;y;] tais que 
Isto é um caso particular do Último Teorema de Fermat ( [;UTF;]), com a restrição de que [;z;] e [;n;] sejam simultâneamente primos, com [;n>2;] -[;N.E;]

A demonstração será consequência dos [;7;] lemas enunciados a seguir.

[; \rightarrow;] Obs: [;u \mid v;] significa [;u;] divide [;v;] e [;u \not \mid v;] significa [;u;] não divide [;v;].

Lema   [;1;]: Se [;z;]  é primo e  [;z^n=aA;], então [;a=z^k;] e [;A=z^{n-k};], com [;0 \leq k \leq n;];

Lema   [;2;]:  Seja [;A=b+c+d+e;]. Se [;z|A;] e [;z|b;] e [;z|c;] e [;z|d;] então [;z|e;];

Lema [;3;] Se [;x^n + y^n=z^n;], então [;z \not \mid x;]  e [;z \not \mid y;].

De fato, se [;z|x \Rightarrow x=dz \Rightarrow (dz)^n + y^n=z^n \Rightarrow d^n.z^n + y^n=z^n;]. Para números naturais essa igualdade só se verifica se [;d=1;] e [;y=0;], pois [;d^n.z^n \geq z^n;]. Logo, [;z;] não divide [; x;] e usando o mesmo processo para [;y;], concluímos que [;z;] não divide [;y;];

Lema [;4;]:  Se [;z;] é primo e [;z|bc;] então ou [;z|b;] ou [;z|c;] (ou ambos); 

Lema [;5;]:  Se [;z;] é primo e [;z|(x^k);] então [;z|x;] esse lema é decorrente do anterior pois se [;z|x.x;] ou [;z|x;] ou [;z|x;],  logo [;z|x;];
Lema [;6;]:  Se [;n;] é primo ímpar então [;n| {n \choose 2};] 

Lema [;7;]: Se [;x>1;], [;y>1;] e [;n>2;], então [;(x+y)^2 \leq x^n+y^n (I);]. Para provarmos a desigualdade vamos supor [;y \geq x \Rightarrow 2y \geq (x+y) \Rightarrow 4y^2 \geq (x+y)^2;]. Aqui temos uma dificuldade. Temos que supor, se [;y \geq 4;] [;\Rightarrow;] [;y^3 \geq 4y^2;] [;\Rightarrow;] [;y^3 \geq 4y^2 \geq (x+y)^2;] [;\Rightarrow;] [;y^3 \geq (x+y)^2;][;\Rightarrow;]  [;x^3+y^3 \geq y^3 \geq (x+y)^2;] [;\Rightarrow;] [;x^n+y^n \geq (x+y)^2;] e ficamos com a pendência de [;y=3;] e [;y=2;] para o caso crítico  de [;n=3;] e lembrando [;x \leq y;]. Substituindo esses valores em [;(I);] veremos que a desigualdade ainda se verifica: [;(3+3)^2 \leq (3^3)+ (3^3);][;(2+3)^2 \leq (2^3) +(3^3);] e finalmente, [;(2+2)^2 \leq (2^3) + (2^3);].

DEMONSTRAÇÃO

Vamos provar por redução ao absurdo. Seja [;x^n+y^n=z^n;] e seja [;x+y=a;]. Assim, [;z^n=x^n + (a-x)^n \Rightarrow z^n=x^n + a^n - na^{n-1}x+.....-(n,2)a^2x^{n-2} + nax^{n-1} - x^n;] ( como [;n;] é impar [;x^n;] tem sinal negativo). Cancelando [;x^n;] temos, [;z^n=a^n-na^{n-1}x+.....-(n,2)a^2x^{n-2} +nax^{n-1};] Como  [;"a ";] aparece em todos os termos,  vamos colocá-lo em evidência. [;z^n=a[ a^{n-1} - na^{n-2}x+...-(n;2)ax^{n-2} +nx^{n-1}];]. Substituindo toda a expressão entre colchetes por [;A;]: [;z^n=aA;]. Observe o lema [;1;]. Suponhamos [;a=1;] e [;A=z^n;]. Para [;a=1 \Rightarrow x+y=1;] e [;x=0;] ou [;y=0;] . Absurdo pois [; x;] e [;y;] são não-nulos. Logo, [;a=z^k;]. Se [;a=z^n \Rightarrow (x+y)=z^n=x^n+ y^n;] e isso só é possível se  [;x=1;][;y=1;]. Mas se [;x=1;] e [;y=1;]  teríamos [;1^n+1^n=z^n;] um  absurdo. Logo, [;a=z^k e A=z^{n-k};] e [;k;] não é [;0;]  enem [;n;]. Concluímos que se [;z|a;] e [;z|A;], então [;z|A;] , [;z|[a^{n-1}];] , [;z|na^{n-2}x;] e [;z|{ n \choose 2}ax^{n-2};]  pelo lema [;2;]. Se [;z|nx^{n-1};], então pelo lema [;4;] ou [;z|n;] ou [;z|x^{n-1};] Neste momento, vamos supor [;z \neq n;], portanto, [;z|x^{n-1};] e pelo  lema [;5;][;z|x;] o que é um absurdo pelo lema [;3;]. Afinal o que provamos até agora? Provamos todo o teorema menos para [;z=n;]. É o que faremos agora. Seja [;z=n;]. Vimos acima que, se [;z \neq n;], [;z;] não divide [;A;] e para [;z=n;], [;z;] pode dividir [;A;].Mas [;z^2;] não pode dividir [;A;]. Vamos provar. Suponhamos [;z^2|A;]. Então [;A/(n^2);] é um  inteiro e temos [;\frac{A}{n^2}=\frac{a^{n-1}}{n^2}-\frac{na^{n-2}x}{n^2}+.....-\frac{{n \choose 2}ax^{n-2}}{n^2}+\frac{nx^{n-1}}{n^2};]. Como [;\frac{A}{n^2};] é um inteiro assim como cada termo até o penúltimo (veja lema [;6;]), então [;\frac{nx^{n-1}}{n^2};] também é inteiro o que implica [;n|x^{n-1};] e pelo lema [;5;]  [;n=z|x;], o que é absurdo pelo lema [;3;]. Para que não nos percamos, lembre que [;z^n=aA;]. Acabamos de provar que [;A;] só pode ser igual a [;z=n;] e não pode ser igual a [;(z^2);] ou [;(z^3);] etc. Se [;A=z;], isso implica que [;a=z^{n-1};] [;\Rightarrow;] [;a>A;] [;\Rightarrow;] [;x+y>\frac{x^n+y^n}{x+y};] e, portanto, [;(x+y)^2>x^n + y^n;], o que contradiz o lema [;7;] e assim, fica demonstrado o teorema.

Tópico relacionadoUTF:Demonstração de Caso Particular-II


7 comentários:

  1. Eu já havia feito essa demonstração antes, mas terminei assim: se z=n, então a=n^k. Coloquei n em evidência nos colchetes, e bastou provar que n não divide x^(n-1). O pequeno teorema de Fermat diz:
    Para todo x inteiro, se n é primo, então
    x^(n-1) ≡ 1 (mod n). Logo, n∤x^(n-1), o que é absurdo.

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    1. Olá, Prof. Narciso Busatto!

      Interessante conexão entre o pequeno e o grande teorema de Fermat...

      Acredito que em todo mundo, mesmo com a demonstração de Willes, os fãs deste último teorema continuam a buscar uma demonstração geral, de forma que caiba em uma ou duas folhas ( e não em duzentas! ).

      Fico honrado com sua visita e apareça mais.

      Um abraço!

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  2. Oi, Narciso! Fiquei duplamente feliz ao ler seu comentário. Primeiro porque descubro que há mais gente pensando em matemática além de mim do Aloisio e de outros donos de blogs. Segundo porque você não apontou erros o que é comum em se tratando de UTF. Não sei como vai afetar a sua demonstração o que vou lhe dizer, pois não sei quais são suas suposições iniciais, mas, do modo como você enunciou, o pequeno teorema de Fermat não vale para todo x inteiro: Contraexemplo: 10^(5-1)== 0 (mód 5) e não côngruo a 1. Um recado para os que tentam demonstrar o UTF: Tenho fortes razões para crer que em algum momento da demonstração os sinais ">" ou "<" têm que aparecer. Muito Obrigado pela leitura...abçs

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    1. Oi, Tavano!

      Muito bom o seu teorema. Interessante que é comum vê casos na história da matemática onde se exploram casos particulares de expoente, apenas.

      Parabéns!

      Obrigado.

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    2. Olá Tavano,

      É verdade, olhando apenas para o meu enunciado, realmente existe um erro... Mas o pequeno teorema de Fermat leva em consideração que mdc(x,n)=1, ou seja, n não pode dividir x, e isso, para a demonstração acima, já está afirmado pelo Lema 3.
      De qualquer forma, o enunciado correto seria:
      Para todo x inteiro, se n é primo e mdc(x,n)=1, então...

      Valeu por ter notado...

      Abraço

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    3. Oi, Narciso!OK, Novamente agradeço pela leitura abçs.

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  3. Oi, Teixeira! Eu que agradeço pela confiança e oportunidade....abçs

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