"Se vi mais longe é porque me sustentei sobre ombros de gigantes"
Isaac Newton ()
Para fechar esta série de Teoria dos Números com aritmética modular (ver post 048), demonstrarei o teorema de Wilson () e sua recíproca ( no post 027 temos uma demonstração elementar do enunciado direto). Serão úteis os teoremas de Euler (), de Lagrange () e o da fatoração.
Como uma prova alternativa da recíproca do teorema de Wilson, veremos ainda a demonstração do leitor Tavano, onde o mesmo utiliza a fórmula combinativa do preenchimento de elementos tomados elementos, junto com o pequeno teorema de Fermat ().
Teorema de Euler. Sejam e . Se , então ( ), onde é a função de Euler. Obs: Se for primo, temos
Demonstração: post 047.
Teorema de Lagrange. Seja um primo e ( ) uma equação de congruência polinomial de grau , com ( ). Então esta equação tem, no máximo, raízes incongruentes .
Demonstração: post 050.
Teorema da fatoração. Se ( ) é raiz de ( ) de grau , então ( ), onde é um polinômio inteiro de grau .
Pequeno teorema de Fermat. É um caso particular do teorema de Euler. Seja um primo. Então para qualquer , temos que , ou seja, ( ) ( ).
Demonstração: post 047.
Fórmula de Tavano. Sejam e , com . Se = número de sequências de termos que, em cada uma delas, haja todos os elementos de um conjunto de elementos, então
_*_
Teorema de Wilson
( enunciado direto )
é um inteiro se, e somente se, for primo
ou, seja,
( ) se, e somente se, for primo
_*_
Demonstração. Será por redução ao absurdo. Suponha composto. Então o mesmo tem um divisor onde . Assim, ( ).
Mas, se ( ) e ( ) , então ( ).
De fato, pois ( ) e .
I) Fazendo, e , temos que ( ).
II) Como , logo é um dos fatores de . Portanto, temos também que ( ).
Comparando os dois resultados
( )
( )
temos que pela propriedade transitiva
( ) ( ) , mas isto é um absurdo, pois, por hipótese, .
Logo, é primo.
_*_
Teorema de Wilson
( recíproca )
Se for primo, então ( )
_*_
Demonstração clássica. Partindo do teorema de Euler
( ), desde que
pensando em como incógnita e fazendo , já que é primo, temos a equação de congruência polinomial
( ), que terá raízes para
Esta condição é satisfeita para , ,,...,, tendo em vista que é primo com todos os inteiros positivos .
Assim, as classes de equivalência ( ), ( ),...,( ) são raízes da equação ( ) e observem que todas são incongruentes módulo , ou seja,
( )
Como o grau do polinômio é e o coeficiente de é incongruente a ( ), ou seja, ( ), o teorema de Lagrange nos garante que estas são as únicas raízes incongruentes módulo desta equação.
Assim, pelo teorema da fatoração, temos a identidade
( )
Fazendo , temos
( )
Mas, ainda pelo teorema de Euler, temos que ( ).
Logo, para primo, ( )
Demonstração de Tavano.
Seja . Sabemos que
Seja . Sabemos que
e, se for par, temos
O teorema de Wilson é verdadeiro para , pois ( );
Suponha, então, (primo). Na fórmula de Tavano
fazendo , temos que
Com essa substituição, e pelo pequeno teorema de Fermat, o fator binomial de cada parcela do segundo membro fica ( ), com ( ), haja vista que é primo e além disso . Portanto, se verifica a condição [(), ].
Assim,
( )
E aplicando no segundo membro,
( )
( )
Referência Bibliográfica
Teoria dos Números, de Salahoddim Shokranian, Marcus Soares e Hemar Godinho; Editora UNB, 1999;
O que é a Matemática?, de Richard Courant e Herbert Robbins, Editora Ciência Moderna, 2000;
Funções Aritméticas - Números Notáveis, de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel,1988.
Imagem ( fonte da montagem ):
http://www.leochristopherson.com/Mathematicians.htm
http://semasbc.com.br/?attachment_id=638
Oi, Teixeira! Ficou muito bom! e obrigado por postar "minha versão". quando fui apresentado ao teorema de Wilson penei uns seis meses sem conseguir demonstrá-lo, e vê-lo aí no post foi para mim motivo de grande satisfação. abrçs
ResponderExcluirOi! de novo! Só para não perder o costume: veja isto: Seja f(x)=(sen pix)^2 + {sen pi[(x-1)!+1]/x}^2, onde x>0, x é real e x! é definido usando a função gama, então os zeros de f(x) são todos os números primos e só eles? Se encontrarmos um meio de resolver f(x)=0 teríamos uma fórmula para primos? abçs
ResponderExcluirOi, Tavano!
ResponderExcluirEu que agradeço por enriquecer o blog!
Vou analisar esta sua equação.
Um abraço!