domingo, 8 de julho de 2012

054-Teorema de Bolzano

Bernard Bolzano ([;1741-1848;])
 
Consequências interessantes do teorema do título dizem respeito à existência de raízes reais da equação algébrica

[;P(x)=A_0x^m+A_1x^{m-1}+...+A_{m-1}x+A_m=0;]

em face de dois parâmetros: a paridade do grau [;m;] da equação ( se é par ou ímpar ) e o sinal do termo independente [;A_m \neq 0;] ( se é negativo ou positivo ).

Temos, então, quatro casos:

([;1;])-[;m;] ímpar  e [;A_m>0;] [;\rightarrow;] há pelo menos uma raíz real negativa 

Ex: [;x^5+7x^4-x^3-8x^2 +2x+6=0;]

([;2;])-[;m;] ímpar e [;A_m<0;] [;\rightarrow;] há pelo menos uma raíz real positiva 

Ex: [;4x^{17}+x^2-111=0;]

([;3;])-[;m;] par e [;A_m>0;] [;\rightarrow;]  há um número par de raízes reais - inclusive nenhuma 

Ex: [;x^2-5x+6=0;]

([;4;])-[;m;] par e [;A_m<0;] [;\rightarrow;] tem, pelo menos, duas raízes reais de sinais contrários 

 Ex: [;x^8-x^5+9x-20=0;] 

[;\rightarrow;] Curiosamente, o único caso em que a equação tem a possibilidade de só admitir raízes complexas é se ela for de grau par com termo independente positivo - caso ([;3;]).

Conforme disse, estes casos são corolários do teorema de Bolzano cujo enunciado duplo é:

Dado a equação [;P(x)=0;],

[;a;]) Se [;P(a);] e [;P(b);] tiverem sinais contrários, ou seja [;P(a).P(b)<0;], então no intervalo [;[a,b];] há um número ímpar de raízes reais.

Logo, quando o grau da equação for ímpar, teremos

[;P(-\infty)=-\infty;] , [;P(0)=A_m;], [;P(+ \infty)=+ \infty;]
Assim, 

- Se [;A_m>0;], há pelo menos, uma raíz real no intervalo [;[- \infty,0];], ou seja, negativa;
- Se [;A_m<0;], há pelo menos, uma raíz real no intervalo [;[0, + \infty];], ou seja, positiva.


[;b;]) Se [;P(a);] e [;P(b);] tiverem o mesmo sinal, isto é, [;P(a).P(b)>0;], então no intervalo [;[a,b];] há um número par ( inclusive zero ) de raízes reais.

Logo, quando o grau da equação for par, teremos

[;P(-\infty)=+ \infty;] , [;P(0)=A_m;], [;P(+ \infty)=+ \infty;]
Assim,

- Se [;A_m>0;], a única certeza que temos é que existe um número par de raízes reais em [;[- \infty,0];] e em [;[0, + \infty];]; 

- Se [;A_m<0;], há pelo menos uma raiz real no intervalo [;[- \infty,0];] ( negativa ), assim como há pelo menos uma raíz real no intervalo [;[0, + \infty];] ( positiva) - aplicando ([;a;]). 


Demonstração. Sejam [;r_1;], [;r_2;],...,[;r_p;] as raízes reais da equação polinomial. Então, temos

[;P(x)= A_0(x-r_1)(x-r_2)...(x-r_p).P^*(x);]

onde [;P^*(x);] é o produto dos binômios corresponentes às raízes complexas, sendo que cada um é da forma

[;[x-(A+Bi)][x-(A-Bi)]=[(x-A)-Bi][(x-A)+Bi]=(x-A)^2+B^2;] 

Portanto, sempre vamos ter [;P^*(x)>0;] e este fator não tem influência significativa no sinal de [;P(x);].

Considerando que as raízes reais estão contidas no intervalo [;[a,b];] e pensando em [;P(x);] como função, temos

[;P(a)=A_0(a-r_1)(a-r_2)...(a-r_p)P^*(a);] 
    
[;P(b)=A_0(b-r_1)(b-r_2)...(b-r_p)P^*(b);]

Multiplicando membro a membro,

[;P(a)P(b)=A_0^2[(a-r_1)(b-r_1)][(a-r_2)(b-r_2)]...[(a-r_p)(b-r_p)]P^*(a)P^*(b);] 

Vejam que os fatores [;A_0^2;], [;P^*(a);] e [;P^*(b);] são sempre positivos. Logo, o sinal do produto [;P(a)P(b);] depende dos fatores da forma

[;[(a-r_j)(b-r_j)];], com [;1 \leq j \leq p;]

Reparem que, como [;a<r_j<b;]  , temos [;(a-r_j)(b-r_j)<0;].

Ora, a cada raiz contida no intervalo [;[a,b];] corresponde à um fator  [;[(a-r_j)(b-r_j)];] negativo. 

Consequentemente,

- Se o número de raízes no intervalo [;[a,b];] for ímpar, teremos:

[;P(a)P(b)<0;] [;\rightarrow;] [;P(a);] e [;P(b);] terão sinais contrários e reciprocamente.

-Se o número de raízes no intervalo [;[a,b];] for par, inclusive zero, teremos: 

[;P(a)P(b)>0;] [;\rightarrow;] [;P(a);] e [;P(b);] terão sinais iguais e reciprocamente.


Referência bibliográfica: Matemática, Terceiro Ano Colegial, Ary Quintella, Companhia Editora Nacional, São Paulo, 1968.

Imagem: http://www.taringa.net/posts/humor/5805547/El-teorema-de-bolzano.html


Postado por às 16:21

2 comentários:

  1. Prof. Paulo Sérgio10 de julho de 2012 às 16:20

    Muito interessante este teorema e a forma como foi apresentada. Mas acho que a conclusão poderia ser mais ampla:

    "Consequentemente,

    - Se o número de raízes no intervalo [;[a,b];] for ímpar, teremos:

    [;P(a)P(b)<0;] [;\Rightarrow;] [;P(a);] e [;P(b);] terão sinais contrários e reciprocamente, isto é, se [;P(a)P(b)<0;], então a única possibilidade para isso é que o número de raízes devem ser ímpares.

    -Se o número de raízes no intervalo [;[a,b];] for par, inclusive zero, teremos:

    [;P(a)P(b)>0;] [;\Rightarrow;] [;P(a);] e [;P(b);] terão sinais iguais e reciprocamente".

    Veja se eu não errei no meu raciocínio.

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  2. Aloisio Teixeira10 de julho de 2012 às 20:29

    Concordo plenamente, professor e obrigado.

    Neste teorema, se existir raízes nulas, elas devem ser previamente eliminadas, o que justifica a condição [;A_m \neq 0;].

    Considero este teorema como uma orientação para se utilizar o método de Newton junto com as derivadas [;P^'(a);] e [;P^'(b);].

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