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Ao final do post, estaremos em condições de resolver as seguintes questões.
Um número é divisível por quando o número formado pelos seus dois últimos dígitos for divisível por . Mas qual o critério da divisibilidade por para um número de dois dígitos? E como calcular o resto de uma divisão por , sem dividir?
Um número é divisível por quando for divisível por e ao mesmo tempo. Mas caso não seja, como calcular o resto de uma divisão por , sem dividir?
Um número é divisível por quando o número formado pelos seus três últimos dígitos for divisível por . Mas qual o critério da divisibilidade por para um número de três dígitos? E como calcular o resto de uma divisão por , sem dividir?
De modo geral, como se calcula o resto da divisão de um número por , sem dividir?
Na aritmética modular, aplicável com as operações de adição algébrica () e multiplicação, no conjunto , os múltiplos inteiros de um número , chamado de módulo de congruência, funcionam como se fossem "zeros". Nesta aritmética, o equivalente do sinal de igualdade é , que significa "é congruente módulo à".
Portanto, dados e , temos
Portanto, dados e , temos
Assim, neste modelo aritmético, qualquer inteiro pode ser reduzido à um dos elementos do conjunto
porque, pelo algoritmo de Euclides, qualquer número pode ser representado por , com e, portanto, , com .
Da mesma forma, pelo mesmo algoritmo, qualquer número pode ser representado por , com . Logo, , com , de forma que .
O conjunto é chamado de sistema completo de resíduos módulo .
O conjunto é chamado de sistema completo de resíduos módulo .
Exs . Seja o módulo e . Logo,
, com ;
, com .
Quando dois números inteiros quaisquer têm a mesma representação módulo em , então eles são considerados congruentes módulo .
Ex: Seja o módulo . Se digo que é porque e , com .
O resto da divisão de um número por é a representação de em .
Então, para calcular este resto, basta eliminar todos os múltiplos de contidos em . Assim, calcula-se o resto por intermédio de uma subtração simplificadora, e não por uma divisão.
Por exemplo, se quero saber o resto da divisão de por , basta levar em conta que
O que fizemos aqui, foi apenas substituir o por , tendo em vista que .
Este caso foi bastante simples pois apenas a redução de um dos dígitos () facilitou a operação. No entanto, já estamos em condições de, caso seja possível, realizar uma simplificação preliminar em um inteiro, módulo .
Ex: Tendo em vista que e , na divisão por , o número deixa o mesmo resto que o número ( confira! ). Já com o número , com o mesmo divisor , nada podemos simplificar.
Ex: Tendo em vista que e , na divisão por , o número deixa o mesmo resto que o número ( confira! ). Já com o número , com o mesmo divisor , nada podemos simplificar.
De modo geral, temos que lidar com as congruências módulo das potências de , que formam sequências padronizadas.
Exercícios Resolvidos. Calcular o resto da divisão de:
) por .
Assim, para , temos . Logo, na redução de um número módulo , só nos interessa os dois últimos dígitos.
(Resto )
Um número é divisível por quando o último dígito somado com o dobro do penúltimo dígito resultar em um múltiplo de ( ou seja, zero, na aritmética módulo ).
) por .
Assim, para , temos . Logo, todos os dígitos interessam.
( Resto )
Um número é divisível por 6 quando ele é divisível por e ou quando a soma do último dígito com quatro vezes a soma dos outros dígitos resultar em um múltiplo de ( ou seja, zero, na aritmética módulo ).
) por .
Assim, para , temos . Logo, na redução de um número módulo , só nos interessa os três últimos dígitos.
(Resto )
Um número é divisível por quando o útimo dígito mais o dobro do penúltimo dígito mais o quádruplo do antipenúltimo dígito resultar em um múltiplo de . ( ou seja, zero, na aritmética módulo ).
Então a nossa resposta a pergunta: De modo geral, como se calcula o resto da divisão de um número por , sem dividir? Basta usar o critério de divisibilidade específico. Veja mais nos tópicos relacionados a seguir.
Para saber mais:
como ? kk
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