Observem a seguinte sequência e tentem descobrir sua lei de formação antes de prosseguir na leitura:
Seu termo genérico é o enésimo número não-divisível por .
De modo geral, o enésimo número não-divisível por é
, onde
, se ;
parte inteira de , se .
No caso da nossa sequência inicial, temos . Assim, o centésimo número não-divisível por é .
No caso da nossa sequência inicial, temos . Assim, o centésimo número não-divisível por é .
Outro exemplo: o milésimo número não-divisível por é
Interessante notar que esta fórmula para o enésimo número não-divisível por se converte no termo genérico do enésimo número ímpar. Veja:
Demonstração intuitiva da fórmula geral. Seja calcular o enésimo termo não-divisível por . Relativo a esta sequência formamos a seguinte tabela com os valores iniciais.
Nesta tabela, na primeira linha, temos os índices e, na segunda linha, o valor da sequência , correspondente.
Observem que, após múltiplo de , a diferença aumenta em unidade. Temos dois casos:
) entre múltiplos de . Vejam que, neste caso, , ou seja, a parte inteira de .
) é múltiplo de . Aqui, temos .
Portanto, , que expressa o enésimo número não-divisível por .
Logo, o enésimo número não-divisível por é
Obs: Parece que , no entanto, esta fórmula funciona apenas para os valores iniciais por entrar em defasagem posterior.
Imagem: http://aprovadonovestibular.com/numeros-primos-aprenda-como-resolver-exercicios.html
Muito interessante o post. Não sabia que o enésimo número não divisível por d está estreitamente relacionado com a parte inteira do número. Só não entendi porque no conjunto inicial de números, o 12 repetiu uma vez.
ResponderExcluirObrigado, Paulo.
ResponderExcluirMas a frente postarei sobre o enésimo termo da sequência [;(0,0,1,0,1,2,0,1,2,3,0,1,2,3,4,...);].
O [;12;] repetiu por falha na digitação. Já corrigi. Valeu.