sexta-feira, 20 de julho de 2012

056-O Enésimo Número Não-Divisível

Observem a seguinte sequência e tentem descobrir sua lei de formação antes de prosseguir na leitura:

[;(1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,...);]


 
Seu termo genérico é o enésimo número não-divisível por [;5;] .

De modo geral, o enésimo número [;a_n;] não-divisível por [;d;] é

[;a_n=n+\left{\frac{n}{d-1}\right};], onde 
[;\left{\frac{n}{d-1}\right}=\frac{n}{d-1}-1;], se [;(d-1)|n;]

[;\left{\frac{n}{d-1}\right}=\left[\frac{n}{d-1}\right]=;]parte inteira de [;\frac{n}{d-1};] , se [;(d-1) \not \mid n;].

No caso da nossa sequência inicial, temos [;a_n=n+\left{\frac{n}{4}\right};] . Assim, o centésimo número não-divisível por [;5;] é [;a_{100}=100+\left{\frac{100}{4}\right}=100+(25-1)=124;].

Outro exemplo: o milésimo número não-divisível por [;d=17;] é

[;a_{1000}=1000+\left[\frac{1000}{16} \right]=1000+[62,5]=1000+62=1062;]

Interessante notar que esta fórmula para o enésimo número não-divisível por [;2;]  se converte no termo genérico do enésimo número ímpar. Veja:

[;a_n=n+\left{\frac{n}{1}\right}=n+(n-1)=2n-1;]

Demonstração intuitiva da fórmula geral. Seja calcular o enésimo termo não-divisível por [;3;]. Relativo a esta sequência formamos a seguinte tabela com os valores iniciais.

[;1;]
[;2;]
[;3;]
[;4;]
[;5;]
[;6;]
[;7;]
[;8;]
[;9;]
[;...;]
[;n;]
[;1;]
[;2;]
[;4;]
[;5;]
[;7;]
[;8;]
[;10;]
[;11;]
[;13;]
[;...;]
[;a_n;]

Nesta tabela, na primeira linha, temos os índices [;n;] e, na segunda linha, o valor [;a_n;] da sequência , correspondente.

Observem que, após [;n;] múltiplo de [;2=3-1;], a diferença [;\Delta =a_n-n;] aumenta em [;1;] unidade. Temos dois casos:
[;a;]) [;n;] entre múltiplos de [;2;]. Vejam que, neste caso,  [;\Delta=\left[\frac{n}{2}\right];], ou seja, a parte inteira de [;\frac{n}{2};] .

[;b;]) [;n;] é múltiplo de [;2;]. Aqui, temos [;\Delta=\left[\frac{n}{2}\right]-1;].

Portanto, [;\Delta=a_n-n=\left{\frac{n}{2}\right} \Rightarrow a_n=n+\left{\frac{n}{2}\right} \Rightarrow a_n=n+ \left{\frac{n}{3-1} \right};], que expressa o enésimo número não-divisível por [;3;].

 Logo,  o enésimo número não-divisível por [;d;]  é

[;a_n=n+\left{\frac{n}{d-1}\right};] 
Obs: Parece que [;a_n=n+\left[\frac{n}{d}\right];], no entanto, esta fórmula funciona apenas para os valores iniciais por entrar em defasagem posterior. 

Imagem: http://aprovadonovestibular.com/numeros-primos-aprenda-como-resolver-exercicios.html

2 comentários:

  1. Muito interessante o post. Não sabia que o enésimo número não divisível por d está estreitamente relacionado com a parte inteira do número. Só não entendi porque no conjunto inicial de números, o 12 repetiu uma vez.

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  2. Obrigado, Paulo.

    Mas a frente postarei sobre o enésimo termo da sequência [;(0,0,1,0,1,2,0,1,2,3,0,1,2,3,4,...);].

    O [;12;] repetiu por falha na digitação. Já corrigi. Valeu.

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