domingo, 29 de julho de 2012

058-O Problema dos Aviões e Outros Problemas/Questões

[;1;]) Problema dos Aviões-nível [;1;]. Calcular o menor número de aviões necessários para que um deles dê uma volta completa no planeta, partindo de um aeroporto no Brasil e retornando ao mesmo local no Brasil, nas seguintes condições: 

- A capacidade máxima do tanque de cada avião é suficiente para realizar somente meia volta ao planeta;
- É possível realizar o abastecimento entre aviões no ar sem perda de tempo;
- Todos os aviões empregados devem retornar e pousar no mesmo local no Brasil;
- Não é permitido a qualquer avião pousar em qualquer outro local do planeta.



[;2;]) Problema dos Aviões-nível [;2;]. dada  a mesmas condições do problema anterior, calcule o número mínimo de aviões necessários para que um deles dê uma volta completa no planetasabendo que todos os aviões decolam rumo a leste e somente podem voar a oeste para voltar a pousar no aeroporto ( ou seja, nenhum avião pode voar em sentido contrário ao avião principal, exceto para retornar ao aeroporto ).

Problemas [;1;] e [;2;] propostos pelo leitor Paulo de Tarso Ramos, de Belo Horizonte / MG.

[;3;]) Calcular o [;50^o;] número positivo que não deixa resto [;6;] na divisão por [;9;] ou, em outras palavras, calcular o [;50^o;] número positivo não-congruente à [;6;] módulo [;9;].

[;4;]) Calcular o [;100^o;] número positivo que não é quadrado perfeito.

[;5;]) Calcular quantas progressões aritméticas ([;PA;]) crescentes podemos formar com [;3;] elementos diferentes ( na mesma [;PA;] ) do conjunto [;\left{1,2,...,100 \right};]. ( ver post 071 ).

[;6;]) Calcular a fórmula do termo genérico da sequência [;(0,0,1,0,1,2,0,1,2,3,0,1,2,3,4,0,1...);]. (ver post 096 ).

[;7;]) Seja a sequência cujo termo geral é [;a_n=\cos(n)+isen(n);], com [;n;] em radianos. Considere o somatório

[;S_n=\sum_{n=1}^n a_n=\sum_{n=1}^n [\cos(n)+isen(n)]=\sum_{n=1}^n \cos(n)+i.\sum_{n=1}^n sen(n);]

Mas, [;a_n=e^{in}=(e^i)^n=e^i.(e^i)^{(n-1)};], ou seja, temos uma [;PG;] com [;a_1=e^i;] e [;q=e^i;].

[;a);] Na soma [;S_n;], é correto utilizar  a fórmula conhecida [;S_n=a_1\frac{(q^n-1)}{(q-1)};]?

[;b);] Caso  a resposta de [;a);]  seja positiva, temos então

[;S_n=e^i\frac{[(e^i)^n-1]}{(e^i-1)};]

Agora como colocar [;S_n;] no formato [;a+bi;] de forma que possamos obter os somatórios [;\sum_{n=1}^n \cos(n);] e [;\sum_{n=1}^n sen (n);] nos moldes do corolário [;II;] do post 029 ?

[;8;])  Considerem dois tanques de água [;A;] e [;B;], de mesma profundidade. [;A;] é colocado no planeta Terra e [;B;] no planeta Saturno. ( aceleração da gravidade do segundo maior do que o primeiro ). No fundo de cada tanque, existe um idêntico bloco de madeira preso. Simultâneamente os blocos são desprendidos e, pelo empuxo de Arquimedes, os mesmos subirão até às superfícies de água dos respectivos tanques. Em qual tanque o bloco chegará primeiro à superfície e porque? - questão respondida brilhantemente pelo professor de Física Jairo Grossi, do blog INFRAVERMELHO. Ver comentário abaixo. O blog ELEMENTOS agradece a valorosa colaboração.




Imagens:

http://www.infoaviacao.com/2010_06_16_archive.html
http://wwwbeckynha.blogspot.com.br/2012/05/estreia-no-blog-saturno-nao-e-o-unico.html
http://www.webciencia.com/04_terra.htm 

12 comentários:

  1. Olá Aloísio.

    Vamos pensar na questão 8.
    Primeiramente vou nominar as variáveis envolvidas.

    Pt = Peso na Terra
    Ps = Peso em Saturno
    Et = Empuxo na Terra
    Es = Empuxo em Saturno
    m = massa do bloco
    gt = gravidade na Terra
    gs = gravidade em Saturno
    V = Volume do bloco
    da = densidade da água
    db = densidade do bloco

    Situação A

    Pt = m.gt = db.V.gt
    Et = da.V.gt

    Como o bloco sobe, conclui-se que sua densidade seja menos do que o da água. A força resultante (Fr) é:
    FrA = Et - Pt = da.V.gt - db.V.gt =
    =(da - db)V.gt (Eq I)


    Situação B

    Vamos considerar que a gravidade de Saturno é 10 vezes maior do que a da Terra: gs =10.gt

    Ps = m.gs = db.V.gs
    Es = da.V.gs

    A Força resultante é:
    FrB = Es - Ps = da.V.gs - db.V.gs =
    =(da - db).V.gs = (da -db).V.10.gt (Eq.II)

    Comparando as Eq.I com Eq.II, chegamos à conclusão de que a força resultante na situação B(Saturno) é 10 vezes maior do que na situação A (Terra). Sendo assim, a aceleração de subida em Saturno é 10 vezes maior. Assim sendo, em Saturno o bloco chegará antes a superfície.
    Confere, ou errei em alguma coisa?

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    1. Oi, Jairo!

      É isso mesmo! Parabéns! Essa questão vai contra o senso comum de que as coisas mais pesadas são mais fáceis de afundar, o que levaria a pensar errôneamente que a subida do bloco de madeira no tanque de Saturno poderia sofrer um retardo devido ao maior peso.

      Concluimos então, pelo seu cálculo, que o bloco é mais rápido na subida em Saturno tendo em vista que a resultante para cima é maior que na Terra.

      Obrigado pela atenção!

      Um abraço.

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  2. Aloisio:
    Achei mesmo interessante. É quase uma pegadinha. Uma pessoa na pressa pode cometer o engano de achar que como o peso do bloco é maior em Saturno, o bloco subiria mais lentamente. Ocorre que o Empuxo também é diretamente proporcional à gravidade do planeta, e portanto esta força que puxa os corpos submersos para cima também aumenta em Saturno.
    Abraço, e parabéns pela proposta destes problemas.

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  3. Oi, Jairo,

    Há de se fazer uma ressalva. Das duas uma: dependendo da densidade e em um planeta de maior gravidade, ou o bloco sobe ou DESCE mais rápido ( caso esteja inicialmente na superfície ).

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    1. Tens razão na afirmação. Se a densidade do bloco for maior que a da água, aí a força resultante terá sentido para baixo, e então o bloco afundaria mais rapidamente em Saturno. Boa observação.

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  4. Oi Aloísio. Entrei no seu blog agora para ver esta questão 8... e para minha surpresa já temos uma aula de Física. A minha ideia inicial confere com a resposta em que em Saturno chegaria primeiro, mas o Jairo deu uma aula aqui. Eu não saberia resolver desta forma. Ótima questão.

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    1. Oi, Kleber!

      Uma extensão deste problema é pensar que os blocos emergirão das superfícies com velocidades diferentes ( embora em instantes diferentes )e, dependendo do impulso, atingirão alturas [;h_t;] e [;h_s;]. Seria interessante saber sobre a relação [;h_t/h_s;]. Agora a influência da gravidade de Saturno se fará sentir mais.

      Valeu, um abraço.

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  5. Olá, Aloísio!!!!

    Fiquei esperando a sua confirmação quanto ao acerto da questão 8, segundo a solução e aula de física, do nosso amigo e parceiro Jairo Grossi!!!! Caso ele não estivesse acertado, então eu já estaria avisado que esse problema era mais um do tipo que eu e o Kleber lançamos e já apresentamos a sua solução, o... TECNOLOGIA EXTRATERRESTRE, lembra? Como o Jairo já matou essa, eu passei a procurar a solução para a as questões sobre os aviões!!!! Bom, tanto para a questão #1 e de #2, eu digo que... são precisos um conjunto de 7 aeronaves???? E aí, acertei a quantidade????

    Um abraço!!!!!

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  6. Oi, Valdir!

    Pois, é, gosto bastante destas questões que extrapolam o cotidiano.

    Claro que lembro da questão TECNOLOGIA EXTRATERRESTRE e sua curiosíssima solução!!

    Relativo ao problema dos aviões, digo que o de nível 1 são necessário apenas três aviões... ( agora o seu desafio é montar o quebra-cabeças, rs ).

    Outro abraço!

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    1. Ola Aloísio. Você tem a solução do problema dos aviões 1? Se tiver gostaria de vê-la. Desde já agradeço.

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  7. Olá, Aloísio!!!!
    Não brinca!!!! Somente três aviões???? caramba!!!! Uma pergunta... qualquer avião poderá receber mais do que a quantidade de combustível normal????
    Um abraço!!!!!

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    1. Oi, Valdir!

      Desde que tenha espaço no tanque de combustível de um avião (ou seja, se parte do combustível foi consumido ) ele poderá receber qualquer quantidade de combustível. Mas cuidado que os aviões que abastecem precisam ter combustíveis suficientes ( em um mesmo tanque respectivo ) para abastecer e retornar ao mesmo aeroporto..

      Um abraço.

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