Seja , com . é chamado de primo se seus únicos divisores positivos são e .
Um inteiro que tem mais de dois divisores positivos é chamado de número composto.
Os números compostos levam este nome porque suas unidades básicas são os números primos, relativo a operação de multiplicação, conforme o teorema a seguir.
Teorema Fundamental da Aritmética. Qualquer número natural é primo ou pode ser decomposto ( fatorado ) de uma única forma em fatores primos.
DEMONSTRAÇÃO
Primeira parte. Existência da decomposição
Usaremos o princípio da indução matemática. Se for primo, nada há a demonstrar. Considere, então, composto. Neste caso, o menor valor onde o teorema se verifica válido é . Suponhamos que o teorema também seja válido para todos os números maiores que e menores que . Como este é composto, existem e , onde , tais que . Mas, como e são menores que , e por hipótese de indução, existem primos de forma que
e
Logo,
ou seja, também pode ser decomposto em fatores primos, como queríamos provar.
Segunda parte. Unicidade da decomposição.
Usaremos a redução ao absurdo. Suponhamos que o número admita duas decomposições diferentes.Sejam elas:
(1)
(2)
Vamos supor, também, que . Assim,
Concluímos que deve ser algum dos fatores . Cancelando estes fatores comuns, temos
Prosseguindo com a mesma lógica,
, etc
Portanto, para cada do primeiro membro, vamos ter um do segundo membro onde . Podemos, então reescrever (2) da seguinte maneira:
Mas, dividindo (2) por (1), temos , um absurdo. Mas não seria se em (1) e (2) se verificasse ( mesma quantidade de primos ) e ( igualdade dos primos correspondentes ). Logo, a decomposição de em fatores primos é única.
Todas as equações ( tipo , com ) a seguir admitem soluções inteiras. Para achar as mesmas, usamos a fórmula
,
Resolver a equação em, ,
Resolução: , e
Resolução: , e
Resolver a equação em , .
Resolução: , e
Resolução: , e
Resolução: , e
Observação: podemos aplicar este método em equações polinomiais ( veja nos comentários do post 043 ).
Referência Bibliográfica
Teoria dos Números, de Salahoddim Shokranian, Marcus Soares e Hemar Godinho; Editora UNB, 1999;
Fundamentos de Matemática Elementar-Logaritmos (2), Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Carlos Murakami, Atual Editora, 1996.
Gostará de ler também:
022-O Teorema Fundamental da Álgebra
043-Equação Exponencial Especial
Imagem: http://bioblog-info.blogspot.com.br/2012/02/atomo.html
Olá Aloisio, achei interessante o seu método de resolver estas equações, mas aplicando para a equação 5^n + 8^n = 35893 encontramos n = 6 como resposta, mas o correto é n = 5. O que está havendo?
ResponderExcluirOi, Paulo!
ResponderExcluirEm [;a^n+b^n=c;], o método funciona com a condição [;a>b;]. Tente de novo com [;8^n+5^n=35893;].
Não li em detalhes a teoria. Obrigado pela correção.
ResponderExcluirOlá Aloísio,
ResponderExcluirQue interessante. Fiz algumas simulações com números grandes e funciona bem esse método para encontrar os expoentes. Muito legal.
Obrigado, Kleber! ´Na demonstração usei intervalos. O que seria da matemática se não fosse eles? Rs
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