quarta-feira, 12 de setembro de 2012

070-Progressão Mista

A álgebra é generosa: freqüentemente ela dá mais do que se lhe pediu.

D'Alembert  



Definição

Dados
 

  

  e   

progressão mista é a sequência numérica  , onde

Cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior vezes uma constante  e mais uma constante , ou seja

Ou então, cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior mais uma constante e vezes uma constante , ou seja,

As constantes  e  ( ou  ) são denominadas razão multiplicativa e aditiva da progressão mista, respectivamente.

O segundo conceito é equivalente ao primeiro, pois temos

, com

  

Logo, para cada  onde , existirá um  tal que . De fato, pois .

Adotaremos a primeira definição com  .

Exemplo

Sejam  e .

Formaremos os quatro primeiros termos da progressão mista de duas formas: com  e com .  

 
  ou 
 ou 
 ou  

Cálculo das razões  e 

 Do sistema

  
              

tiramos 

  


 com



 ( fornecida pela primeira equação do sistema )

Assim, precisamos de três termos consecutivos  e  para acharmos as razões  e  da progressão mista.

Exemplo

Calcular as razões da progressão mista . Temos, então,  e . Logo,

 

 

Sendo possível estes cálculos, concluímos que, dados três números quaisquer que não estejam em  ou , então estes números sempre farão parte de uma progressão mista.


Fórmula do termo geral

Pela relação   , temos

 

 

 

 

[;..................................................................................................................;][;..............................;] 




Exemplos

Assim, a sequência do primeiro exemplo , com , e  fica


Enquanto que a sequência do segundo exemplo  , com  e  tem a forma




Considerações sobre o termo geral - forma sintética

Com um pequeno rearranjo,  a fórmula  se transforma em


 e chegamos a forma sintética , com

 e  

Na forma sintética, temos

  ,  e 

Assim,
 


 

Exemplos 

, com  e 


 



, com  e  


 



, com  e 



Curiosidades

A fórmula que fornece a soma dos  primeiros termos de uma progressão geométrica (), de primeiro termo   e razão , ou seja, , é o enésimo termo de uma progressão mista. De fato,


com  e  , sendo


   





A sequência constante  pode ser interpretada como uma progressão mista com  e  ou vice-versa, sendo que estas razões não são únicas. Qual forma geral destas razões para ?

Sugestão de pesquisa

Qual o processo de formação da sucessão numérica gerada pelo termo geral

  ?


Gostará de ler também:


Referência bibliográfica: Coleção Fundamentos de Matemática Elementar-V4.

Imagem: http://www.fractal.org/Fractal-tree-scaffold.htm

4 comentários:

  1. Oi Teixeira!Suponhamos que eu tome um empréstimo de a0 reais em n prestações mensais a uma taxa de i% ao mês e os juros correm todo mês. Eu pago todo mês uma prestação de r reais. Qual a dívida que eu tenho em cada mês? Seja q=1+i/100, a dívida do primeiro mês é a1=a0q - r, a dívida do segundo mês é a2=a1q - r. Se não soubermos o valor da prestação para calcularmos basta igualar a dívida a zero no termo geral. abçs

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  2. Oi, Tavano!

    Muita boa esta aplicação de progressão mista. Seu comentário foi um complemento essencial ao post.

    Desconfio que, se existisse fórmula fechada para a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de segunda ordem, então ela seria parecida com a equação da sugestão para pesquisa que dei ao final do artigo.

    Sobre soma de dois quadrados da forma a^2+b^2=4k+1, me enganei a respeito do livro que tenho, pois eram apenas teoremas de existência. Mas no blog FATOS MATEMATICOS, temos uma matéria interessante sobre isto.

    Veja em http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/02/representacao-dos-naturais-como-soma-de.html.

    O artigo também foi publicado no Carnaval UBM 14.

    Valeu, um abraço.

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    1. Caro Teixeira! Embora o blog indicado não tenha a resposta, como sempre no "FATOS MATEMÁTICOS" aprendi muito sobre o assunto (a^2+b^2=P). O motivo da pergunta é que eu tinha desenvolvido um método para achar "a" e "b" e embora não tivesse conseguido demonstrá-lo estava convencido de que funcionava, ontem percebi o porquê, achei um contraexemplo para p=89. O método era interessante: Dado p=4k+1 (por exemplo 41) eu devia encontrar j tal que j^2+1==0(mód p)(para p=41, j=9)encontrado j (um pouco difícil e trabalhoso) eu dividia p por j e o quociente e o resto dessa divisão eram o "a" e o "b" (no caso para 41=9.4 + 5=>4^2 + 5^2=41) Talvez ainda dê para consertar. Obs há dois "jotas" toma-se o menor. Obrigado pelo espaço. Abçs.

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  3. O latex não tá funcionando! :O

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