segunda-feira, 24 de setembro de 2012

073-Números de Fermat

Dado [;n \in \mathbb{N};], número de Fermat é todo inteiro positivo da forma

[;F_n=2^{2^n}+1;]

Seus primeiros cinco valores são todos primos:

Em [;1640;] , Fermat [;(1601-1665);], em correspondência, via Mersene [;(1588-1648);], com ilustres matemáticos de Paris, entre eles Descartes [;(1596-1650);] e Pascal [;(1623-1662);] , conjecturou que [;F_n;] é primo para todo inteiro [;n \geq 0;]. Mas, em [;1732;], Euler [;(1707-1783);] provou que [;F_5=2^{2^5}=4294967297;] é composto. Além disso, até hoje, não se conseguiu encontrar outros números de Fermat que sejam primos, depois dos cinco primeiros. Portanto, a conjectura atual é que todos os [;F_n>F_4;] sejam compostos.

Teorema [;1;] . O número de Fermat [;F_5=2^{2^5}+1;] é composto.

Demonstração devida à G.Bennet [;(1897-1974);] 

Sejam [;a=2^7;]  e [;b=5;]

Assim, [;1+ab=1+2^7.5=1+128.5=641;] 

E ainda, [;1+ab-b^4=1+b(a-b^3)=1+5(128-125)=2^4;]

Mas, [;F_5=2^{32}+1=2^4.2^{28}+1=2^4.(2^7)^4+1\Rightarrow;]

[;F_5=(1+ab-b^4).a^4+1=(1+ab).a^4-b^4.a^4+1=(1+ab).a^4+(1-a^4b^4) \Rightarrow;]

[;F_5=(1+ab).a^4+(1+a^2b^2).(1-a^2b^2)=(1+ab).a^4+(1+a^2b^2)(1+ab)(1-ab) \Rightarrow;] 

[;F_5=(1+ab)[a^4+(1+a^2b^2).(1-ab)];] 

Logo, [;1+ab=641;] divide [;F_5=2^{2^5}=4294967297;]


Um número [;F_n;] de Fermat depende de todos os outros anteriores ao mesmo. De fato, existe uma bela relação conforme o teorema a seguir.


Teorema [;2;]. Os números de Fermat verificam a igualdade

[;F_n=F_0F_1F_2...F_{n-1}+2;] 

Demonstração 

[;F_0F_1F_2...F_{n-1}=(2^{2^0}+1)(2^{2^1}+1)(2^{2^2}+1)...(2^{2^{n-1}}+1);]

Agora, se multiplicarmos o segundo membro por [;1=(2^{2^0}-1);], isto desencadeará uma série de produtos notáveis da forma [;(2^{2^k}-1)(2^{2^k}+1)=(2^{2^k})^2-1^2=2^{k+1}-1;] em um efeito "dominó" que sintetizará toda a expressão. Observem:

[;F_0F_1F_2...F_{n-1}=\overbrace{(2^{2^0}-1)(2^{2^0}+1)}^{2^{2^1}-1}(2^{2^1}+1)(2^{2^2}+1)...(2^{2^{n-1}}+1)=;]

[;=\overbrace{(2^{2^1}-1)(2^{2^1}+1)}^{2^{2^2}-1}(2^{2^2}+1)(2^{2^3}+1)...(2^{2^{n-1}}+1)=;]

[;=\overbrace{(2^{2^2}-1)(2^{2^2}+1)}^{2^{2^3}-1}(2^{2^3}+1)(2^{2^4}+1)...(2^{2^{n-1}}+1)=;] 

[;....................................................................................................;] 

[;=(2^{2^{n-1}}-1)(2^{2^{n-1} }+1)=;] 

[;=2^{2^n}-1=2^{2^n}+1-2=F_n-2 \Rightarrow;]

[;F_0F_1F_2...F_{n-1}=F_n-2 \Rightarrow;]

[;F_n=F_0F_1F_2...F_{n-1}+2;]


Teorema [;3;]. Dois números quaisquer de Fermat não possuem divisores primos comuns, ou seja, se [;n \neq m;], então [;mdc(F_n,F_m)=1;].

Demonstração

Suponha [;F_n < F_m;]. Seja [;mdc(F_n,F_m)=d;]. Como [;F_n=2^{2^n}+1;] é ímpar, segue-se que [;d;] também é ímpar, pois não necessita de nenhum fator [;2;] para cancelamento com [;F_n;] ou [;F_m;], já que é divisível (MDC). Calculemos

[;\frac{F_m-2}{F_n}=\frac{2^{2^m}-1}{2^{2^n}+1}=\frac{[(2^{2^n})^{2^{m-n}}-1]}{2^{2^n}+1};]

Para melhor visualização dos cálculos, vamos fazer [;2^{2^n}=x;] e [;2^{m-n}=k;]. Então fica

[;\frac{F_m-2}{F_n}=\frac{x^k-1}{x+1}=x^{k-1}-x^{k-2}+...-1;],

conforme a fórmula da soma dos [;k;] termos de uma progressão geométrica de primeiro termo [;a_1=-1;] e razão [;q=-x;]. Se não, vejamos: [;S_n=a_1.\frac{q^k-1}{q-1}=-1.\frac{(-x)^k-1}{-x-1}=\frac{x^k-1}{x+1};] ( lembrem-se que [;k=2^{m-n};] e, portanto, par ).

Assim, o segundo membro da expressão [;\frac{F_m-2}{F_n}=x^{k-1}-x^{k-2}+...-1;] é inteiro. Portanto, [;F_n;]  divide [;F_m-2;];
Como [;d;] divide [;F_n;], segue-se que [;d;] divide [;F_m-2;], ou seja, [;\frac{F_m-2}{d};] é inteiro;

Mas, [;d;] divide [;F_m;] e, portanto, [;d;] divide [;2;]. Como já vimos que [;d;] é ímpar, só nos resta [;d=1;], já que estamos tratando de inteiros positivos.

Logo,  [;mdc(F_n,F_m)=d=1;]


Reparem os leitores, na tabela do início do post, que [;F_2;], [;F_3;] e [;F_4;] terminam em [;7;]. Será que [;F_n;] termina em [;7;] para todo [;n \geq 2;]? Segue o teorema.

Teorema [;4;]. O algarismo das unidades do número de Fermat [;F_n;] é [;7;] para todo [;n\geq 2;].

Demonstração

É fácil provar por indução que [;2^{2^n} \equiv 6;] (mod [;10;]), para todo [;n \geq 2;]. Logo,

[;F_n=2^{2^n}+1 \equiv 7;] (mod [;10;]), para todo [;n \geq 2;].

Algumas outras propriedades dos números de Fermat deixarei como exercícios. 


Exercícios propostos

[;1);] Provar que nenhum número de Fermat, de índice [;>1;] é a soma de dois primos.

[;2);] Provar que nenhum número de Fermat é um quadrado perfeito.

[;3);] Provar que nenhum  número de Fermat  é um cubo perfeito.

[;4);]  Provar que nenhum número de Fermat é um número triangular


Referência bibliográfica: Funções Aritméticas / Números Notáveis de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel, [;1988;].

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