terça-feira, 25 de setembro de 2012

074-Fórmula Recursiva para Polinômio

Este artigo é mais um capítulo do desenvolvimento do cálculo [;N;] (natural), ou cálculo discreto cuja teoria e algumas aplicações podem ser vistas nos posts 002, 003016, 020, 030 e 037.

Veremos, agora, um breve resumo sobre este conceito. Cálculo [;N;] é toda teoria e aplicação que envolve a derivada [;N;] ou  a integral [;N;]. Neste post, nos interessa a primeira operação aplicada em polinômios.


Derivada natural de um polinômio [;P(n);] é um segundo polinômio [;P_1(n);] obtido a partir do primeiro pela operação 

[;P_1(n)=P(n+1)-P(n);]

Por sua vez, a derivada de segunda ordem de [;P(n);] é

[;P_2(n)=P_1(n+1)-P_1(n);]

De forma que a [;i;]-ésima derivada de [;P(n);] é

[;P_i(n)=P_{i-1}(n+1)-P_{i-1}(n);], com [;i \geq 2;] 

Conforme vimos no post 002, a operação derivada [;N;]  em [;P(n);], de grau [;g;],  faz reduzir o grau deste polinômio, de forma que [;P_1(n);] tem grau [;g-1;]. Logo, [;P_g(n);] tem grau [;g-g=0;], ou seja, é um polinômio com valor constante. Precisamente, se [;P(n)=a_0n^g+a_1n^{g-1}+...+a_g;], temos [;P_g(n)=a_0.g!;], igual da derivada [;g;]-ésima de [;P(n);]

As derivadas [;N;] de todas as ordens de [;P(n);] também são chamadas de derivadas sucessivas.

Findo o resumo, iniciaremos as novidades deste artigo que é uma aplicação do cálculo [;N;] na obtenção de uma fórmula recursiva para um polinômio.

Por intermédio das derivadas [;N;] sucessivas de [;P(n);] podemos obter uma fórmula recursiva para [;P(m);]  onde o valor deste polinômio é fornecido em função dos [;g;] valores anteriores [;P(m-1);], [;P(m-2);],...,[;P(m-g);].

Observem que

[;P_2(n)=P_1(n+1)-P_1(n) \Rightarrow;]

[;P_2(n)=[P(n+2)-P(n+1)]-[P(n+1)-P(n)] \Rightarrow;] 

[;P_2(n)=P(n+2)-2P(n+1)+P(n);] 

Por sua vez,

[;P_3(n)=P_2(n+1)-P_2(n) \Rightarrow;] 

[;P_3(n)=[P(n+3)-2P(n+2)+P(n+1)]-[P(n+2)-2P(n+1)+P(n)] \Rightarrow;] 

[;P_3(n)=P(n+3)-3P(n+2)+3P(n+1)-P(n);] 

Por sua vez,

[;P_4(n)=P_3(n+1)-P_3(n) \Rightarrow;] 

[;P_4(n)=[P(n+4)-3P(n+3)+3P(n+2)-P(n+1)]-[P(n+3)-3P(n+2)+3P(n+1)-P(n) \Rightarrow;]

[;P_4(n)=P(n+4)-4P(n+3)+6p(n+2)-4p(n+1)+P(n);] 

Consequentemente,

[;P_g(n)={ g \choose 0}P(n+g)-{ g \choose 1}P(n+g-1) +{ g \choose 2}P(n+g-2)-...(-1)^g{ g \choose g}P(n);]

Agora, fazendo [;m=n+g;] e substituindo [;P_g(n)=a_0.g!;], temos

[;a_0.g!={ g \choose 0}P(m)-{ g \choose 1}P(m-1) +{ g \choose 2}P(m-2)-...(-1)^g{ g \choose g}P(m-g);]

Logo,

[;P(m)={g \choose 1}P(m-1)-{g \choose 2}P(m-2)+...+(-1)^{g+1}{g \choose g}P(m-g)+a_0.g!;]

que é a nossa procurada fórmula recorrente para [;P(m);], sendo [;g;] o grau deste polinômio e [;a_0;] o coeficiente do monômio de maior grau do mesmo.

Exemplos e aplicações

[;1);] [;P(m)=m={1 \choose 1}(m-1)+1!=(m-1)+1;]

[;2);] [;P(m)=m^2={2 \choose 1}(m-1)^2-{2 \choose 2}(m-2)^2+2!=2(m-1)^2-(m-2)^2+2;] 

[;3);] Sabendo que [;64;], [;125;], [;216;] são cubos consecutivos, calcular o seguinte. A resolução é uma aplicação direta da fórmula recursiva:

[;m^3=3(m-1)^3-3(m-2)^3+(m-3)^3+3!=3.(216)-3.(125)+(64)+6=343;]


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