Este artigo é mais um capítulo do desenvolvimento do cálculo (natural), ou cálculo discreto cuja teoria e algumas aplicações podem ser vistas nos posts 002, 003, 016, 020, 030 e 037.
Veremos, agora, um breve resumo sobre este conceito. Cálculo é toda teoria e aplicação que envolve a derivada ou a integral . Neste post, nos interessa a primeira operação aplicada em polinômios.
Derivada natural de um polinômio é um segundo polinômio obtido a partir do primeiro pela operação
Veremos, agora, um breve resumo sobre este conceito. Cálculo é toda teoria e aplicação que envolve a derivada ou a integral . Neste post, nos interessa a primeira operação aplicada em polinômios.
Derivada natural de um polinômio é um segundo polinômio obtido a partir do primeiro pela operação
Por sua vez, a derivada de segunda ordem de é
De forma que a -ésima derivada de é
, com
Conforme vimos no post 002, a operação derivada em , de grau , faz reduzir o grau deste polinômio, de forma que tem grau . Logo, tem grau , ou seja, é um polinômio com valor constante. Precisamente, se , temos , igual da derivada -ésima de .
As derivadas de todas as ordens de também são chamadas de derivadas sucessivas.
Findo o resumo, iniciaremos as novidades deste artigo que é uma aplicação do cálculo na obtenção de uma fórmula recursiva para um polinômio.
Por intermédio das derivadas sucessivas de podemos obter uma fórmula recursiva para onde o valor deste polinômio é fornecido em função dos valores anteriores , ,...,.
Observem que
Por sua vez,
Por sua vez,
Consequentemente,
Agora, fazendo e substituindo , temos
Logo,
que é a nossa procurada fórmula recorrente para , sendo o grau deste polinômio e o coeficiente do monômio de maior grau do mesmo.
Exemplos e aplicações
Sabendo que , , são cubos consecutivos, calcular o seguinte. A resolução é uma aplicação direta da fórmula recursiva:
Também pode ser interpretado como novas identidades algébricas envolvendo potências como em . Por exemplo:
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