O triângulo de Pascal tem grande importância em certas classes de sequências recorrentes.
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Definição
Conforme Edgard de Alencar Filho, no seu livro Funções Aritméticas / Números Notáveis, uma sequência de números reais , ,...,,... chama-se sequência recorrente de ordem , se e somente se, existem números reais ,,..., tais que, para todo inteiro , temos a igualdade
ou seja, o termo genérico é uma combinação linear dos termos anteriores , ,...,, sendo que os primeiros termos são previamente definidos, de forma que possamos calcular para .
Uma progressão geométrica ordinária é uma sequência recorrente de ordem porque
Exemplos
Uma progressão geométrica ordinária é uma sequência recorrente de ordem porque
,
com
Dados e , temos a sequência recorrente de ordem conhecida como sequência de Fibonacci
com e
Mas, se em , tivermos e se forma agora uma outra sequência de ordem chamada de sequência de Lucas .
Uma progressão aritmética ordinária, com , é uma sequência recorrente de ordem porque
e tirando a diferença membro a membro, obtemos
com e
A sequência dos quadrados perfeitos é uma sequência recorrente de ordem , tendo em vista que
e fazendo a diferença por membro, chegamos a
com , e
TEOREMA
Toda sequência cujo termo geral é um polinômio de grau é uma sequência recorrente de ordem .
Demonstração
Vamos aproveitar um resultado anterior. Conforme vimos no post 074 (link), a derivada natural ou discreta de -ésima ordem de é
074-Fórmula Recursiva para Polinômio
Mas, da mesma forma que a derivada infinitesimal, a derivada de ordem de um polinômio de grau é . Logo,
Agora, fazendo , temos
De forma que
e como temos valores anteriores no segundo membro, segue que um polinômio de grau é uma sequência recorrente de ordem .
Referência bibliográfica: Funções Aritméticas / Números Notáveis de Edgard de Alencar Filho, Editora Nobel, .
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Imagem:http://redematematica.wordpress.com/2009/11/18/tarefas-7%C2%BA-ano-%E2%80%98sequencias-e-regularidades%E2%80%99-20092010-npmat/
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