terça-feira, 16 de outubro de 2012

078-Fórmulas de Bhaskara e Cardano Pelas Relações de Girard-Método de Tavano

 

Nos livros escolares encontram-se alguns exemplos do uso das relações de Girard na resolução de casos particulares das equações de   e  graus.

Se fazemos um sistema com as relações de Girard para resolver as equações quadráticas e cúbicas, isentas de condições especiais, recairemos novamente nas mesmas equações quadráticas e cúbicas, certo? Este é um pensamento comum, mas depende do modo de como usamos estas relações.

Neste artigo veremos que as relações de Girard são suficientes para resolverem as equações e e acredito que também resolvam a equação quártica, de modo geral.

Primeiramente, vamos ver o modo errado de usar Girard, ou seja, o modo que não reduz o problema.

Dado a equação , temos as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes e :


Então temos um sistema em duas variáveis e . Da primeira equação tiramos e substituindo na segunda equação:



E voltamos a estaca zero, pois retornamos à equação quadrática.


FÓRMULA DE BHASKARA, usando Girard 

Agora, a maneira correta de utilizarmos estas relações.  Montamos o seguinte sistema:



Soma das raízes:

produto das raízes:  

Substituindo nesta segunda equação, temos

Então,

E retornando com os valores   e  , encontramos que é a nossa conhecida fórmula de Baskhara.

Interessante observar que não foi cogitado o complemento do trinômio quadrado perfeito, o que é de praxe nos livros escolares.


FÓRMULA DE CARDANO  

Para resolver a equação , primeiramente, com a substituição , obtemos a equação transformada simplificada .

 Agora, utilizarei um belo estratagema que me foi fornecido pelo leitor e habitual colaborador Antonio Carlos Tavano de São Paulo-SP.

Da equação  , escolhemos  como sendo uma das raízes cúbicas complexas do número . Portanto,

 

 

Montamos, então, o seguinte sistema nas variáveis auxiliares  e  :

 

 


onde  e  são as raízes de . Agora, pelas relações de Girard, temos


 

Desenvolvendo a primeira relação usando o sistema, obtemos


 




 

Lembrando que  , prosseguimos,


 

 (1)

Desenvolvendo a segunda relação usando o sistema, obtemos

  

 

 



Lembrando que   e , prosseguimos


 

 

 




 

 

 (2)

Chegamos então a  conhecida fórmula de Cardano através das relações


 (1)

  (2)

De (1), tiramos   e substituindo em (2), temos


que é uma equação quadrática em . Então achamos  e depois  por (2).

O mérito de se deduzir a fórmula de Cardano usando as relações de Girard pelo método de Tavano é que, escolhendo uma das raízes cúbicas complexas de , por exemplo , então as três raízes da equação  são fornecidas individualmente por intermédio do sistema

 

 

 

E finalmente, pela relação , obtemos todas as raízes da cúbica geral

 


Imagens: - http://giga-mat.blogspot.com.br/2007/08/bhaskara.html
              - http://www.pokertime.eu/blog/Cardamos-book-Book-on-Games-of-Chance/
              -http://www.profcardy.com/matematicos/individuos.php?pid=48  
              -http://textosdeumadiva.blogspot.com.br/2010_12_01_archive.html

6 comentários:

  1. Olá, Aloiso. Estou tentando ler, mas meu leitor de latex não esta funcionando direito. O senhor usar qual?

    Abraços

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  2. Oi, Vinicius, as fórmulas que uso são melhor visualizadas no navegador Mozilla Firefox.

    Obrigado pela visita.

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    1. Olá,
      Uso o Firefox e nem assim não consigo visualizar.
      Alguma idéia de como resolver o problema?
      Abs

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  3. Oi, Teixeira! Estive ausente. Não creio que meu nome seja digno de estar entre esses figurões mas ficou bonitinho, até rimou (Cardano X Tavano). Se tenho algum mérito devo dividi-lo com você. A ideia me surgiu ao ver seu post anterior. Veja: você escreveu x1=a+b e x2=a-b ambos têm a forma a+xb onde x é uma das raízes quadradas de "1". Para a cúbica geral podemos fazer x1=a+b+c; x2=a+bj+cjj e x3=a+bjj+cj, então teremos x1+x2+x3=3a, obtemos o valor de "a"; x1x2+x1x3+x2x3=3a^2-3bc; obtemos o valor de "bc" e finalmente x1x2x3=a^3+b^3+c^3-3abc; obtemos o valor de "a^3+b^3" e caímos de novo em Cardano. Para a quártica talvez se tenha algo como x1=a+b+c+d; x2=a+bi-c-di etc. Obrigado! Você talvez não saiba mas está tirando um peso das minhas costas.

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    1. Errata: Acima onde se lê: "obtemos o valor de a^3 + b^3". leia-se:"obtemos o valor de b^3 + c^3.

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  4. Oi, Tavano!

    Interessante é que na equação reduzida ax^3+.bx+c=0, o mais simples sistema x1=p+qi, x2=p-qi e x=- 2p não resolve.

    Mas seu método, nem Tartaglia e nem Girard chegaram a pensar nisso porque naquela época, a teoria dos números complexos não estava desenvolvida.

    Mas e Euler e Gauss? Chegaram à perceber? Não sei.

    Este seu sistema com três variáveis a, b e c também é muito interessante.

    Mais uma vez obrigado e parabéns!

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