081-Equação Ciclotômica

Definição

 De todas as equações algébricas(polinomiais) de enésimo grau, a mais simples é

conhecida como Equação Ciclotômica, exaustivamente estudada por Euler e Gauss.

As raízes de são os zeros da função .  Os gráficos a seguir permitem vizualizar as raízes reais.

Mas conforme o Teorema Fundamental da Álgebra (-ver post 022), esta equação possui raízes complexas e os gráficos acima não fornecem um mínimo de pista sobre onde se encontram as outras.

Para calcular as raízes complexas reais mostradas, é necessário apenas isolar a variável no primeiro membro para obtermos as  raízes enésimas da unidade.
Assim, da equivalência  e pelo , fica claro que

A) Se for ímpar, então , o que indica que temos ainda um número par de raízes complexas;

 B) Se for par, então .o que indica que temos ainda um número também par de raízes complexas.

Como calcular estas outras raízes complexas? Para isto, veremos um breve resumo específico sobre números complexos.

Os Números Complexos

Um número complexo é todo número da forma , com e reais e é a unidade imaginária. A característica principal de é que , uma igualdade que nenhum número real pode estabelecer. 

O módulo do número complexo é o número real e o conjugado de é o também número complexo . Se uma equação polinomial admitir a raiz  complexa , então o conjugado também é raíz.

Os números complexos são representados no plano de Argand-Gaus. Consiste em dois eixos ortogonais orientados onde o eixo horizontal contêm a parte real de e o eixo vertical contêm a parte imaginária de .

Assim, o ponto representa o número complexo enquanto o ponto representa o número complexo  .

O ponto designa genericamente qualquer número complexo .

Observem agora o que significa o módulo de . Nada mais é do que a distância da origem ao ponto que o representa, ou seja, , um número real sempre positivo.

Importante observar que qualquer número real também é um número complexo. O número , por exemplo, representado pelo ponto é o número complexo .

O ângulo é chamado de argumento de . Com ele podemos representar o número complexo na sua forma trigonométrica ou polar, conforme a seguir.

De e vem,

 

Na forma polar, a multiplicação entre dois números complexos fica bastante facilitada. De fato pois,

 

Então, para multiplicar dois números complexos na forma trigonométrica, basta multiplicar os módulos e somar os argumentos.

Demonstração.  Temos que ter em  mente o seguinte.

  (1)

E ainda,

  (2)

(3)

Agora é só  usar (1) para multiplicar os números complexos

 

Obtendo

E aplicando (2) e (3), chegamos ao produto polar

 

_*_

Logo, se multiplicármos números complexos iguais, ou seja, de mesmos módulos e argumentos, temos

 

que é a expressão polar para a potência enésima de um número complexo conhecida como fórmula de Moivre.

_*_

De modo inverso, podemos dizer que a raíz enésima de um número complexo é também um número complexo. Assim,

onde e são o módulo e o argumento da raíz enésima de , respectivamente.

Elevando à potência , temos

Portanto, da identidade de números complexos, os módulos e os argumentos são iguais ou equivalentes. Logo, o módulo da raíz enésima de é . Levando em conta que estamos tratando com funções trigonométricas periódicas, o argumento da raíz enésima de calcula-se da seguinte maneira:

 

 

 

Aqui nos parece que temos infinitos argumentos de infinitas raízes enésimas de , pois pelo que estudamos em trigonometria, sabemos que .No entanto, serão necessários utilizar apenas alguns valores de . Precisamente, são utilizados valores de , justificando assim, a existência de raízes enésimas do número complexo (conforme o ).
Como podemos entender isto? Considere e o ângulo central de uma das fatias de uma circunferência dividido em partes. Assim, da posição angular , vamos acrescentando fatias iguais de ângulo central de , ou seja ,

 

...................

 

 

Ora, mas nesta última expressão e os valores trigonométricos e são equivalentes à   e voltamos a posição inicial. Portanto, os valores diferentes das raízes enésimas de ocorrem quando . Resumindo, para estas condições de :

Resolução da Equação Ciclotômica

 

  

 

 

 

Com 

Exemplo 1 ()

Neste caso, seria desnecessário usar a fórmula polar se o objetivo não fosse verificar o seu funcionamento. Porque, pelo , só temos aqui duas raízes complexas e elas são os números reais e . Mas vejamos o que acontece se inserirmos o grau da equação na expressão:

 

Com  ou  

Para  , temos 

Para , temos

Exemplo 2 ()

 

Com  , ou

Lembrando que ,

para  , temos 

para , temos

para , temos   

Exemplo 3 ()

  

Com ,  , e

Lembrando que ,

Para  , temos 

Para , temos

Para , temos

 

Para , temos

  Representação no Plano Complexo

No plano de Argand-Gauss, os segmentos que representam os módulos das raízes enésimas da unidade, formam entre si, ângulos de , de forma que os pontos que representam estas raízes formam um polígono regular de lados. Por este motivo, a equação   recebe o nome de Equação Ciclotômica. Gauss utilizou esta curiosa propriedade e, após analisar a permutação das raízes, descobriu, de forma magnânima, que o polígono de lados é construtível com régua e compasso. 

Referência Bibliográfica

- Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. - Complexos, Polinômios, Equações - Atual Editora

-O Romance das Equações Algébricas, de Gilberto G.Garbi, Editora Makron Books, .

Gostará de ler também:

008-Logaritmo de Número Negativo?
022-O Teorema Fundamental da Álgebra
078-As Fórmulas de Bháscara e Cardano pelas Relações de Girard