O objetivo do presente artigo é calcular os valores de
Já vimos, no artigo anterior, as seguintes representações de :
Algébrica:
Geométrica:
Trigonométrica:
Forma Exponencial de um Número Complexo
Um modo de chegar na forma exponencial é pensar em na forma trigonométrica como uma função de (em radianos), derivar e resolver a equação diferencial correspondente, ou seja
Mas em e temos e , respectivamente, de forma que . Chegamos, então, a forma exponencial do número complexo :
Onde é o módulo de e é o argumento de .
Agora, para achar uma expressão para , façamos e calculamos
de forma que
Mas,
Substituindo estas equivalências na expressão final e efetuando a diferença do segundo membro, chegamos a conclusão que
, onde
ou
No caso de , usamos agora
Fazendo e , desenvolvendo e separando a parte real e imaginária, chegamos analogamente à
, onde
ou
Para , basta fazer
, com os já calculados
e usar a fórmula conhecida de divisão de dois números complexos na forma algébrica
.
Fica como exercício aos leitores.
Referência Bibliográfica
-História da Matemática, de Carl B.Boyer, Editora Edgard Blücher LTDA, ;
- Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. - Complexos, Polinômios, Equações - Atual Editora;
- Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. - Complexos, Polinômios, Equações - Atual Editora;
-O Romance das Equações Algébricas, de Gilberto G.Garbi, Editora Makron Books, .
Gostará de ler também:
Olá, Aloisio!
ResponderExcluirEstá de parabéns pelo post! Muito bom mesmo!
Só tenho uma dúvida; Como você tem feito para escrever em LaTex no blogger?
Por acaso, meu script pro firefox tem dado errado, e gostaria de saber alternativas.
Abraços,
João Pedro.
Oi, João Pedro!
ExcluirObrigado!
Desde quando tive problemas com o latex no Firefox estou usando uma sugestão do Kleber. É um editor online de equações:
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
Valeu, nobre.
Nossa Aloisio, está de parabéns com este post, pois usou uma abordagem que eu não conhecia, ou seja, deduziu a relação de Euler sem usar séries infinitas. Como sugestão para ficar mais elegante o post, usa as funções seno e cosseno hiperbólico que são dadas por
ResponderExcluir[;\sinh B = \frac{e^B - e^{-B}}{2};]
e
[;\cosh B = \frac{e^B + e^{-B}}{2};]
Oi, Paulo!
ResponderExcluirObrigado pelos elogios e pela sugestão. Como não tenho muita intimidade com funções hiperbólicas, nem saquei à primeira vista. Mas já fiz os complementos.
Valeu!