sábado, 10 de novembro de 2012

082-Valores Trigonométricos de z=A+Bi


O objetivo do presente artigo é calcular os valores de







Vamos precisar, então,  da forma exponencial de um número complexo .

Já vimos, no artigo anterior, as seguintes representações de :

Algébrica:

Geométrica: 

Trigonométrica:


Forma Exponencial de um Número Complexo

Um modo de chegar na forma exponencial é pensar em na forma trigonométrica como uma função de (em radianos), derivar e resolver a equação diferencial correspondente, ou seja

 

 

 

 

 

  

 

 

 

  

Mas em e   temos e , respectivamente, de forma que . Chegamos, então, a forma exponencial do número complexo :


Onde é o módulo de e é o argumento de .



Agora, para achar uma expressão para , façamos e calculamos 




de forma que 
  

 









Mas,





Substituindo estas equivalências na expressão final e efetuando a diferença do segundo membro, chegamos a conclusão que 

, onde

 
 
 
ou







No caso de , usamos agora




Fazendo e , desenvolvendo e separando a parte real e imaginária, chegamos analogamente à

, onde 

 

 
ou







Para , basta fazer

, com os já calculados



e usar a fórmula conhecida de divisão de dois números complexos na forma algébrica

 .

 Fica como exercício aos leitores. 


Referência Bibliográfica

-História da Matemática, de Carl B.Boyer, Editora Edgard Blücher LTDA, ;
- Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. - Complexos, Polinômios, Equações - Atual Editora;
-O Romance das Equações Algébricas, de Gilberto G.Garbi, Editora Makron Books, .

Gostará de ler também:



4 comentários:

  1. Olá, Aloisio!

    Está de parabéns pelo post! Muito bom mesmo!

    Só tenho uma dúvida; Como você tem feito para escrever em LaTex no blogger?

    Por acaso, meu script pro firefox tem dado errado, e gostaria de saber alternativas.

    Abraços,

    João Pedro.

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    Respostas
    1. Oi, João Pedro!

      Obrigado!

      Desde quando tive problemas com o latex no Firefox estou usando uma sugestão do Kleber. É um editor online de equações:

      http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

      Valeu, nobre.

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  2. Nossa Aloisio, está de parabéns com este post, pois usou uma abordagem que eu não conhecia, ou seja, deduziu a relação de Euler sem usar séries infinitas. Como sugestão para ficar mais elegante o post, usa as funções seno e cosseno hiperbólico que são dadas por

    [;\sinh B = \frac{e^B - e^{-B}}{2};]

    e

    [;\cosh B = \frac{e^B + e^{-B}}{2};]


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  3. Oi, Paulo!

    Obrigado pelos elogios e pela sugestão. Como não tenho muita intimidade com funções hiperbólicas, nem saquei à primeira vista. Mas já fiz os complementos.

    Valeu!

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