sexta-feira, 16 de novembro de 2012

084-Distância de um Ponto a uma Reta

Se é a equação geral de uma reta e é um ponto qualquer do plano, então a distância ortogonal de à  é dada pela elegante fórmula

Por exemplo, se queremos a saber a distância  do ponto à reta gerada pela equação , basta fazer

 

DEMONSTRAÇÃO 


Observem o diagrama. Nosso objetivo é calcular a distância do ponto dado à reta fornecida pela equação .

Utilizaremos, por ser mais prático neste caso, a equação reduzida da reta , com e .

Considere o segmento   que intercepta  a reta no ponto de coordenadas. Assim,
  
 
pois estando na reta dada, suas coordenadas satisfazem a equação .

No triângulo , temos . Mas,

 
Em  , lembrem-se que e ainda .  Substituindo na expressão para , temos

 
Finalmente, retornando com os valores  e chegamos à

 


Vejam uma PROVA SEM PALAVRAS  no blog do Prof. Paulo Sérgio: FATOS MATEMÁTICOS .

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O matemático italiano Joseph Lagrange foi o primeiro a provar que a distância de um ponto ao plano de equação é



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Referência Bibliográfica:
-Matemática-Terceiro Ano Colegial, Ary Quintella, Companhia Editora Nacional, São Paulo, ;
- História da Matemática , Carl B.Boyer, Editora Edgard Blücher LTDA,  .



3 comentários:

  1. Interessante a abordagem feita para deduzir a distância de um ponto a uma reta, pois envolvem conceitos de geometria analítica e trigonometria. Para complementar o seu post, apresento outra forma de deduzir esta expressão neste link http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2009/08/distancia-de-de-ponto-reta.html

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    1. Oi, Paulo!

      Achei legal a "prova sem palavras". Já inclui no texto.

      Obrigado pela sugestão.

      Até mais!

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