quarta-feira, 28 de novembro de 2012

089-Equações Recíprocas ( Parte 2/3 )




Forma Normal de uma Equação Recíproca
 
A equação recíproca de grau par e de primeira classe

 

a que se pode reduzir a resolução de todas as outras, chama-se forma normal de uma equação recíproca.

Portanto, são redutíveis à forma normal as seguintes equações recíprocas:

Caso: Equação de grau ímpar e de primeira classe;
Caso: Equação de grau ímpar e de segunda classe;
Caso: Equação de grau par e de segunda classe.


esgotando, assim, todas as possibilidades.


Redução à Forma Normal


Caso: Equação de grau ímpar e de primeira classe

Para reduzir uma equação de primeira classe e de grau ímpar à forma normal, divide-se por .

Demonstração. Neste caso, temos

 

Sendo esta equação de grau ímpar, a mesma tem uma quantidade par de termos. Os termos equidistantes dos extremos correspondem-se dois a dois. Por definição, em uma equação recíproca de primeira classe, estes termos correspondentes são iguais. Logo,  é raiz porque em os termos de grau ímpar trocam de sinal e os de grau par conservam o sinal, ocorrendo o anulamento entre estes termos.

Segue que é divisível por e o polinômio quociente desta divisão, quando considerado como equação, conterá as raízes recíprocas restantes, conforme a seguir.

ou

Sabemos que tem grau par e é recíproca. Como saberemos que esta equação é de primeira classe?  Basta analisar o primeiro coeficiente e o termo independente de . No produto é fácil perceber que o coeficiente do termo de maior grau de é igual ao coeficiente do termo de maior grau de ou seja, . Já o termo independente de é , veja: 

 

Logo, e concluímos que a equação de grau par é de primeira classe e, portanto, encontra-se na forma normal.


EXEMPLOS 



 
 


Caso: Equação de grau ímpar e de segunda classe

Para reduzir uma equação de segunda classe e de grau ímpar à forma normal, divide-se por .


Demonstração. Neste caso, temos

 

Aqui também  temos uma quantidade par de termos. Mas desta vez, os termos equidistantes dos extremos são simétricos. É claro que é uma raiz. Portanto, com um raciocínio similar a seção anterior, temos queé divisível por e o quociente será de grau par contendo as raízes recíprocas restantes.

No produto percebemos que o coeficiente do termo de maior grau de é igual ao coeficiente do termo de maior grau de ou seja, . Sendo que o termo independente de é :


Logo, e concluímos que a equação de grau par é de primeira classe e, portanto, encontra-se na forma normal.


EXEMPLOS 

 





Caso: Equação de grau par e de segunda classe

Para reduzir uma equação de segunda classe e de grau par à forma normal, divide-se por e  por .


 Demonstração. Neste caso, temos 

 

Conforme foi provado no artigo anterior,  este tipo de equação é desprovido do termo central.  Então, novamente, temos uma equação recíproca com uma quantidade par de termos.  Como os termos equidistantes dos extremos são simétricos, é uma raiz  e é divisível por . Mas então, teríamos como quociente um polinômio , de forma que é  uma equação recíproca de grau ímpar e de primeira classe.  Então recaímos no caso,  no qual teremos que dividir por para obtermos, como resultado, uma equação de grau par e de primeira classe e, portanto, da forma normal.


EXEMPLO

Vamos reduzir à forma normal a equação recíproca de grau par e de segunda classe

 

Dividindo por  , temos

 

 

 ou seja, uma equação recíproca de grau ímpar e de primeira classe ( Caso). Finalmente, dividindo por , obtemos

 

 

que é uma equação recíproca de grau par e de primeira classe ( forma normal ).


Considerações Finais

Conforme vimos neste artigo, qualquer equação recíproca pode ser reduzida à forma normal.  Portanto, para resolvê-las, é necessário apenas saber solucionar as equações recíprocas de grau par e de primeira classe.

No próximo e último artigo desta série, nos concentraremos apenas na resolução de equações recíprocas simplificadas na forma normal.



Referência bibliográfica:

Matemática, Terceiro Ano Colegial, Ary Quintella, Companhia Editora Nacional, São Paulo, 1968.



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