Ref: [ 088-Equações Recíprocas ( Parte 1/3) ]
Forma Normal de uma Equação Recíproca
A equação recíproca de grau par e de primeira classe
a que se pode reduzir a resolução de todas as outras, chama-se forma normal de uma equação recíproca.
Portanto, são redutíveis à forma normal as seguintes equações recíprocas:
Caso: Equação de grau ímpar e de primeira classe;
Caso: Equação de grau ímpar e de segunda classe;
Caso: Equação de grau par e de segunda classe.
Caso: Equação de grau par e de segunda classe.
esgotando, assim, todas as possibilidades.
Redução à Forma Normal
Caso: Equação de grau ímpar e de primeira classe
Para reduzir uma equação de primeira classe e de grau ímpar à forma normal, divide-se por .
Demonstração. Neste caso, temos
Sendo esta equação de grau ímpar, a mesma tem uma quantidade par de termos. Os termos equidistantes dos extremos correspondem-se dois a dois. Por definição, em uma equação recíproca de primeira classe, estes termos correspondentes são iguais. Logo, é raiz porque em os termos de grau ímpar trocam de sinal e os de grau par conservam o sinal, ocorrendo o anulamento entre estes termos.
Segue que é divisível por e o polinômio quociente desta divisão, quando considerado como equação, conterá as raízes recíprocas restantes, conforme a seguir.
Para reduzir uma equação de segunda classe e de grau ímpar à forma normal, divide-se por .
Conforme foi provado no artigo anterior, este tipo de equação é desprovido do termo central. Então, novamente, temos uma equação recíproca com uma quantidade par de termos. Como os termos equidistantes dos extremos são simétricos, é uma raiz e é divisível por . Mas então, teríamos como quociente um polinômio , de forma que é uma equação recíproca de grau ímpar e de primeira classe. Então recaímos no caso, no qual teremos que dividir por para obtermos, como resultado, uma equação de grau par e de primeira classe e, portanto, da forma normal.
Segue que é divisível por e o polinômio quociente desta divisão, quando considerado como equação, conterá as raízes recíprocas restantes, conforme a seguir.
ou
EXEMPLOS
Sabemos que tem grau par e é recíproca. Como saberemos que esta equação é de primeira classe? Basta analisar o primeiro coeficiente e o termo independente de . No produto é fácil perceber que o coeficiente do termo de maior grau de é igual ao coeficiente do termo de maior grau de ou seja, . Já o termo independente de é , veja:
Logo, e concluímos que a equação de grau par é de primeira classe e, portanto, encontra-se na forma normal.
Caso: Equação de grau ímpar e de segunda classe
Para reduzir uma equação de segunda classe e de grau ímpar à forma normal, divide-se por .
Demonstração. Neste caso, temos
Aqui também temos uma quantidade par de termos. Mas desta vez, os termos equidistantes dos extremos são simétricos. É claro que é uma raiz. Portanto, com um raciocínio similar a seção anterior, temos queé divisível por e o quociente será de grau par contendo as raízes recíprocas restantes.
No produto percebemos que o coeficiente do termo de maior grau de é igual ao coeficiente do termo de maior grau de ou seja, . Sendo que o termo independente de é :
No produto percebemos que o coeficiente do termo de maior grau de é igual ao coeficiente do termo de maior grau de ou seja, . Sendo que o termo independente de é :
Logo, e concluímos que a equação de grau par é de primeira classe e, portanto, encontra-se na forma normal.
EXEMPLOS
Caso: Equação de grau par e de segunda classe
Para reduzir uma equação de segunda classe e de grau par à forma normal, divide-se por e por .
Demonstração. Neste caso, temos
Conforme foi provado no artigo anterior, este tipo de equação é desprovido do termo central. Então, novamente, temos uma equação recíproca com uma quantidade par de termos. Como os termos equidistantes dos extremos são simétricos, é uma raiz e é divisível por . Mas então, teríamos como quociente um polinômio , de forma que é uma equação recíproca de grau ímpar e de primeira classe. Então recaímos no caso, no qual teremos que dividir por para obtermos, como resultado, uma equação de grau par e de primeira classe e, portanto, da forma normal.
EXEMPLO
Vamos reduzir à forma normal a equação recíproca de grau par e de segunda classe
Dividindo por , temos
ou seja, uma equação recíproca de grau ímpar e de primeira classe ( Caso). Finalmente, dividindo por , obtemos
que é uma equação recíproca de grau par e de primeira classe ( forma normal ).
Considerações Finais
Conforme vimos neste artigo, qualquer equação recíproca pode ser reduzida à forma normal. Portanto, para resolvê-las, é necessário apenas saber solucionar as equações recíprocas de grau par e de primeira classe.
No próximo e último artigo desta série, nos concentraremos apenas na resolução de equações recíprocas simplificadas na forma normal.
Referência bibliográfica:
Matemática, Terceiro Ano Colegial, Ary Quintella, Companhia Editora Nacional, São Paulo, 1968.
No próximo e último artigo desta série, nos concentraremos apenas na resolução de equações recíprocas simplificadas na forma normal.
Referência bibliográfica:
Matemática, Terceiro Ano Colegial, Ary Quintella, Companhia Editora Nacional, São Paulo, 1968.
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