Ref: [ 088-Equações Recíprocas ( Parte 1/3) ]
[ 089-Equações Recíprocas ( Parte 2/3 )]
Este é o modo de mudança de variável que faremos nas equações recíprocas na forma normal. Veremos, agora, que efeito esta substituição causará nas identidades para
, quando utilizadas de forma recursiva. Vamos precisar apenas dos expoentes 
.
Introdução
Conforme a Teoria dos Grupos, cujo pioneiro foi o matemático francês Evarist Galois 
, uma equação polinomial é resolúvel algebricamente, de modo geral, até o 
grau, excetuando-se os casos particulares de graus superiores.
Como exemplo destas exceções, temos a equação quíntica
; a equação de enésimo grau pura 
; a equação 
-quadrática 
; a equação geométrica 
, onde os sinais são todos iguais ou alternados; dentre outras; e as equações recíprocas.
Não considerando a série geométrica, as equações recíprocas, no quesito grau, foram as mais longes equações polinomiais completas resolúveis algebricamente. Uma equação recíproca qualquer é resolúvel até o
grau, enquanto uma equação recíproca de grau par e de segunda classe é resolúvel até o 
grau.
Já sabemos que qualquer equação recíproca de grau ímpar pode ter o grau reduzido em uma unidade e uma equação recíproca de grau par e de segunda classe pode ter o grau reduzido em duas unidades. O resultado destas reduções é sempre uma equação recíproca de grau par e de primeira classe chamada de forma normal. Logo, uma equação recíproca na forma normal é resolúvel algebricamente até o
grau.
No presente artigo, tratarei das equações recíprocas de grau par e de primeira classe ou de forma normal e limitarei apenas a demonstrar a possibilidade de resolução das equações deste tipo, de, 
e graus, mesmo porque o formato das raízes das equações reciprocas de grau 
são construções numéricas, envolvendo radicais, bastante complexas, sem finalidade prática.
Então, a essência deste post é justamente o dito artifício algébrico da redução à metade do grau. Vamos à ele.
Começaremos dizendo que a identidade a seguir é muito útil no trato com as equações recíprocas.
Dados o inteiro 
e 
, temos a seguinte identidade algébrica:
.
, uma equação polinomial é resolúvel algebricamente, de modo geral, até o grau, excetuando-se os casos particulares de graus superiores.Como exemplo destas exceções, temos a equação quíntica
; a equação de enésimo grau pura ; a equação -quadrática ; a equação geométrica , onde os sinais são todos iguais ou alternados; dentre outras; e as equações recíprocas.Não considerando a série geométrica, as equações recíprocas, no quesito grau, foram as mais longes equações polinomiais completas resolúveis algebricamente. Uma equação recíproca qualquer é resolúvel até o
grau, enquanto uma equação recíproca de grau par e de segunda classe é resolúvel até o grau.Já sabemos que qualquer equação recíproca de grau ímpar pode ter o grau reduzido em uma unidade e uma equação recíproca de grau par e de segunda classe pode ter o grau reduzido em duas unidades. O resultado destas reduções é sempre uma equação recíproca de grau par e de primeira classe chamada de forma normal. Logo, uma equação recíproca na forma normal é resolúvel algebricamente até o
grau.No presente artigo, tratarei das equações recíprocas de grau par e de primeira classe ou de forma normal e limitarei apenas a demonstrar a possibilidade de resolução das equações deste tipo, de
, e graus, mesmo porque o formato das raízes das equações reciprocas de grau são construções numéricas, envolvendo radicais, bastante complexas, sem finalidade prática.
A teoria geral é esta: as equações recíprocas na forma normal de grau 
, por intermédio de um artifício algébrico, tem seu grau reduzido à uma equação polinomial de natureza diversa, de grau . Assim temos as reduções de grau de 
( resolúvel pela fórmula de Ferrari ), de 
( resolúvel pela fórmula de Cardano-Tartaglia ) e de 
( resolúvel pela fórmula de Bhaskara ).
, por intermédio de um artifício algébrico, tem seu grau reduzido à uma equação polinomial de natureza diversa, de grau . Assim temos as reduções de grau de ( resolúvel pela fórmula de Ferrari ), de ( resolúvel pela fórmula de Cardano-Tartaglia ) e de ( resolúvel pela fórmula de Bhaskara ).Então, a essência deste post é justamente o dito artifício algébrico da redução à metade do grau. Vamos à ele.
Começaremos dizendo que a identidade a seguir é muito útil no trato com as equações recíprocas.
Identidade Algébrica para
e , temos a seguinte identidade algébrica:
Exemplos
.
Demonstração. Muito simples. Apenas multiplique o segundo membro da identidade e elimine os termos iguais.
Observem que esta identidade é válida para qualque valor complexo de 
. Mas como estamos lidando com expoentes inteiros e positivos, fiz a restrição , sendo um número natural.
. Mas como estamos lidando com expoentes inteiros e positivos, fiz a restrição , sendo um número natural.
A substituição 
Este é o modo de mudança de variável que faremos nas equações recíprocas na forma normal. Veremos, agora, que efeito esta substituição causará nas identidades para
, quando utilizadas de forma recursiva. Vamos precisar apenas dos expoentes .
RESUMO
Veremos a seguir, de que maneira estas substituições se encaixam na resolução das equações recíprocas. A partir daqui, estudaremos efetivamente as equações recíprocas de forma normal.
Resolução da Equação Recíproca de Grau 
, com 
e de Primeira Classe
, com e de Primeira Classe
Seja a equação
Sendo 
o termo central. Dividindo ambos os membros por 
, temos
o termo central. Dividindo ambos os membros por , temos
Agrupando os termos de coeficientes iguais:
E aqui entra as substituições do RESUMO. Vejamos os casos particulares.
Resolução da Equação Recíproca de Grau e de Primeira Classe
Grau e de Primeira Classe
Fazendo , temos
, temos
O objetivo foi alcançado, ou seja, o grau da equação original foi reduzido pela metade e a equação em 
é resolúvel pela fórmula de Bháskara.
é resolúvel pela fórmula de Bháskara.
Para cada raiz calculada, encontramos um par de raízes 
por intermédio da equação de substituição ou 
que é uma equação quadrática comum em todas as equações recíprocas estudadas neste artigo.
calculada, encontramos um par de raízes por intermédio da equação de substituição ou que é uma equação quadrática comum em todas as equações recíprocas estudadas neste artigo.
Resolução da Equação Recíproca de 
Grau e de Primeira Classe
Grau e de Primeira Classe
Fazendo
, temos
A equação cúbica em , após uma preparação, é resolúvel pela fórmula de Cardano-Tartaglia. Os valores de são encontrados pela equação quadrática . Desta forma, encontramos as seis raízes da equação original.
, após uma preparação, é resolúvel pela fórmula de Cardano-Tartaglia. Os valores de são encontrados pela equação quadrática . Desta forma, encontramos as seis raízes da equação original.
Resolução da Equação Recíproca de 
Grau e de Primeira Classe
Grau e de Primeira Classe
Fazendo
, temos
Que é resolúvel pelo método de Ferrari. Como nos dos casos anteriores, a equação quadrática fornece dois valores de para cada raiz encontrada. Desta forma, as oito raízes da equação original são calculadas.
_*_ fornece dois valores de para cada raiz encontrada. Desta forma, as oito raízes da equação original são calculadas.
Referência bibliográfica:
-Matemática, Terceiro Ano Colegial, Ary Quintella, Companhia Editora Nacional, São Paulo, 1968;
- Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 
- Complexos, Polinômios, Equações - Atual Editora;
- Complexos, Polinômios, Equações - Atual Editora;
-O Romance das Equações Algébricas, de Gilberto G.Garbi, Editora Makron Books, 
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