Considere a elipse mostrada no gráfico cartesiano do diagrama. Observem que a mesma tem centro na origem , raio maior paralelo ao eixo e raio menor paralelo ao eixo . Nestas condições, a equação da elipse é . Na forma explícita, pode ser considerada a lei de definição de uma função cujo gráfico encontra-se no mesmo diagrama, acima do eixo .
Com o objetivo de calcular a área da elipse usando Cálculo, integraremos a função considerada no intervalo , multiplicando o resultado por , ou seja
Fazendo,
com as seguintes alterações nos limites inferior e superior da integral:
temos,
Mas, e, substituindo, vem
Assim, o valor desta integral definida é
Para calcular a área da elipse com uma integral utilizando a variável e os limites e , basta reverter a transformação trigonométrica em, nos mesmos moldes do artigo 086 .
Se , temos um círculo e, portanto, .
Gostará de ler também:
por que multiplica por 4?
ResponderExcluirJá que todas as "fatias" da elipse são iguais, com esses limites de integração ele só está calculando a área da "fatia" da elipse que se encontra no primeiro quadrante. Multiplicando o resultado por 4, tem-se então a área de toda a elipse.
ExcluirPorque x=a sen(Teta) , E não x= a cos(Teta)?
ResponderExcluirIntegral trigonométrica
ResponderExcluirIntegral trigonométrica
ResponderExcluirQual livro tem essa demonstracao
ResponderExcluirA área do círculo é A = (pi)xR² porque os "raios" são iguais. Já na elipse, os raios são diferentes: R1 # R2. Então a área da elipse fica assim: A = (pi)*R1*R2.
ResponderExcluirEsta demonstração está incorreta.