sábado, 5 de janeiro de 2013

101-Estudo da Função Definida por f(x)=x^a/b^x


Considerações iniciais

Seja e , com . Considere a função definida por



Para , temos . Logo, o ponto pertence ao gráfico, ou seja, a curva passa pela origem.


Valores para


Neste caso, ambas as funções e são positivas e crescentes, o que indica que o gráfico de encontra-se acima do eixo para . Mas, cresce muito mais rápido, de forma que quando , teremos



Assim, um esboço do gráfico no intervalo da função estudada seria

Onde é o valor máximo de , neste intervalo. Notem que a curva intercepta o eixo à esquerda no ponto . Mas, à direita,  a curva nunca intercepta o eixo horizontal, por menor que seja positivamente.


Valores para


Seja , com e .Tendo em vista que nunca é negativo, temos dois casos a considerar:

1)  ímpar.


Logo,   

2) par.  



Logo,  

Portanto, o gráfico geral de tem um dos seguintes aspectos.



 




Domínio e imagem
 
 Se é a ordenada do máximo local no primeiro quadrante, observem que o domínio desta função é nos dois casos, mas a imagem é se for ímpar   se for par.


Coordenadas do ponto máximo local 


Seja a abcissa do ponto máximo ou . Logo, é a derivada de no ponto . Calculando a derivada geral da função, temos,

 
Pela regra do quociente,

 

 


Assim, para ou . Mas corresponde ao ponto de inflexão na origem no que concluímos que as coordenadas do ponto máximo local é 



  .
Logo, se (  número de Euler), temos que o ponto máximo da função tem coordenadas .


Área no intervalo

Para calcular a àrea no intervalo é necessário calcular a integral

  (1)

porque, de posse deste resultado, basta fazer e calcular o valor da integral nos limites do intervalo considerado.
Usaremos a fórmula de integração por partes com a idéia de reduzir a integral (1) à uma outra que contenha uma potência de menor grau e assim por diante, até o grau da potência ser zero e,  a partir daí, operá-la como uma constante.

Sejam
,, e

Inserindo estes resultados na fórmula,


(2)

Por sua vez,

 (3)
 
Substituindo (3) em (2)

 
  (4)

Por sua vez,

(5)

Substituindo (5) em (4),



Podemos induzir que,

 


Mas, nesta última integral, temos , de forma que




(6),

sendo a constante de integração. 

Agora, dado , com , seja e considere .

Neste caso, verifiquem no segundo membro de (6) que,  se , temos


 
E para , temos


 Assim, (7)

Logo, para calcularmos a área no intervalo sob a curva da função definida por , façamos ou em (7), de forma que

 
Por exemplo, se , temos , o que indica que o fatorial de um número pode ser dado por intermédio da área sob uma curva.


_*_






Referência Bibliográfica:

- Manual de Fórmulas e Tabelas Matemáticas, Coleção Schaum, [;3^a;] edição, de Murray R.Spiegel, Seymour Lipschutz e John Liu, Ed.Bookman, [;2011;];

-Transformadas de Laplace, Coleção Schaum, de Murray R.Spiegel, Ed.McGRAW-HILL, [;1965;].


Referência na net: 

http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/06/integral-do-produto-da-exponencial-pela.html 





5 comentários:

  1. Parabéns pelo post. Muito interessante este estudo da função definida pela razão entre a função potencial e a exponencial. Na parte que trata da integral, lembrei que eu também escrevi algo semelhante neste link
    http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2011/06/integral-do-produto-da-exponencial-pela.html

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  2. Obrigado, Paulo!

    Como curiosidade, coloque no Geogebra ou programa similar a função [;y=b^x/x^a;] ( a inversa ) e veja que temos um novo aspecto gráfico que, se não for útil para alguma coisa, pelo menos seria divertido uma análise.

    Deixei um comentário no seu artigo referido.

    Valeu!

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    1. Adicionei um link deste post no post que eu escrevi. Até mais.

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  3. Mais um exelente post de um ótimo blog
    Aloisio vc comanda um blog mega interessante e gostaria de ter parabens por ste belíssimo blog

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  4. Oi, Matheus!

    Obrigado pela consideração!

    Um abraço e volte sempre!

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