No post 107 , vimos alguns métodos para calcular o ponto máximo da curva gerada por .
Vimos também que o volume do sólido de revolução desta curva relativo ao eixo é .
O Prof. Paulo Sérgio do blog FATOS MATEMÁTICOS informou por e-mail sobre seu cálculo da área interna limitada pela curva em estudo no que resultou . Daí temos duas conclusões e uma conjectura:
- A área limitada pela curva de é igual a área de um círcula de raio ;
- O volume do sólido de revolução desta curva relativo ao eixo é igual ao volume de uma esfera de raio ( comprovem com a fórmula );
- É possível que o comprimento da curva seja que é o mesmo de uma circunferência de raio ?
CÁLCULO DA ÁREA TOTAL LIMITADA INTERNAMENTE PELA CURVA DE EQUAÇÃO ou ( demonstração do Prof Paulo Sérgio de que ) .
Por simetria,
Seja . Assim,
e ainda,
( mudança dos limites de integração )
Fazendo as substituições na integral, temos
Seja . Assim,
e ainda,
( mudança dos limites de integração )
Fazendo as substituições na integral, temos
Temos a soma de duas integrais relativas às funções definidas por e , respectivamente.
Na primeira função, devido ao fator ,os valores de no intervalo são simétricos aos valores no intervalo , com exceção do ponto . Consequentemente,
Já é equivalente à . Esta expressão representa um círculo na origem de raio . A integral , portanto, calcula a área do dobro da metade ( área do círculo inteiro ). Logo, o valor de fica
Olá Aloisio, ficou muito bom o post e muito obrigado pela divulgação em seu blog. Rascunhei o comprimento de arco, mas não cheguei numa integral muito difícil. Desconfio que a conjectura seja falsa.
ResponderExcluirOi, Paulo
ResponderExcluirObrigado pela colaboração. Para resolver esta integral, inicialmente eu tinha substituido x^0.5 por z, com x=z^2. No que segue dx=2z.dz. A integral ficaria nos mesmos limites 0 e 1 e o integrando 2(z-z^2)^0.5.zdz. No entanto verifiquei que a integral definida seria zero???? Depois não soube como prosseguir. Mas vejo nos seus cálculos que a substituição x^0.5=u+0.5 é mais útil.
Já para o cálculo do comprimento temos uma integral mais espinhosa. Acho que provar que não é pi seja mais viável que o cálculo direto.
Valeu!
Olá amigos.
ResponderExcluirEste artigo é para fortalecer o nosso conhecimento sobre a área lateral de um Cone reto.
Numa pesquisa recente descobrimos que a área quadrada de uma Elipse e igual à área lateral de um Cone Reto.
Conclusão:
se multiplicarmos um número por ele mesmo e depois por pi (3,14), o resultado é exatamente a área do Círculo.
Se multiplicarmos um número por outro e depois por pi (3,14), o resultado é exatamente a área de uma Elipse, ok?
De igual modo, se multiplicarmos um número por outro e depois por pi (3,14), o resultado é exatamente a área lateral de um Cone reto, ok?
Um simples raciocínio, não é mesmo?
Atenciosamente,
edinho silva.
Édison Martins da Silva.
Compartilhando conhecimentos em Matemática Avançada.
Oi, Édison.
ExcluirAgradeceria se vc tecesse um comentário a respeito do que foi publicado na presente postagem.
Acho inadequado usar este espaço para seu tema e ignorar o trabalho em vigor.
Em outras ocasiões eu te respondi e comentei favoralvemente a respeito de seus trabalhos e tenho certeza que gostou.
Se desejar transmitir algo mais, solicito usar o e-mail.
Espero que não haja nenhum mal-entendido sobre o que escrevi.
Atenciosamente.
Aloisio Teixeira