sábado, 9 de março de 2013

108-Equação (y^2+x)^2=x (Parte 2) - Cálculo da Área e Conjectura do Comprimento da Curva

No post 107 , vimos alguns métodos para calcular o ponto máximo da curva gerada por .
 Vimos também que o volume do sólido de revolução desta curva relativo ao eixo é .

O Prof. Paulo Sérgio do blog FATOS MATEMÁTICOS informou por e-mail sobre seu cálculo da área interna limitada pela curva em estudo no que resultou . Daí temos duas conclusões e uma conjectura:

- A área limitada pela curva de é igual a área de um círcula de raio ;
- O volume do sólido de revolução desta curva relativo ao eixo é igual ao volume de uma esfera de raio ( comprovem com a fórmula );  
- É possível que o comprimento da curva seja que é o mesmo de uma circunferência de raio ?


CÁLCULO DA ÁREA TOTAL LIMITADA INTERNAMENTE PELA CURVA DE EQUAÇÃO ou ( demonstração do Prof Paulo Sérgio de que )   .


Por simetria,

Seja . Assim,

e ainda,





( mudança dos limites de integração )


Fazendo as substituições na integral, temos



 


Temos a soma de duas integrais relativas às funções definidas por  e , respectivamente.

Na primeira função, devido ao fator ,os valores de no intervalo são simétricos aos valores no intervalo , com exceção do ponto . Consequentemente,

 
Já  é equivalente à . Esta expressão representa um círculo na origem de raio . A integral , portanto, calcula a área do dobro da metade ( área do círculo inteiro ).  Logo, o valor de fica 











4 comentários:

  1. Olá Aloisio, ficou muito bom o post e muito obrigado pela divulgação em seu blog. Rascunhei o comprimento de arco, mas não cheguei numa integral muito difícil. Desconfio que a conjectura seja falsa.

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  2. Oi, Paulo

    Obrigado pela colaboração. Para resolver esta integral, inicialmente eu tinha substituido x^0.5 por z, com x=z^2. No que segue dx=2z.dz. A integral ficaria nos mesmos limites 0 e 1 e o integrando 2(z-z^2)^0.5.zdz. No entanto verifiquei que a integral definida seria zero???? Depois não soube como prosseguir. Mas vejo nos seus cálculos que a substituição x^0.5=u+0.5 é mais útil.

    Já para o cálculo do comprimento temos uma integral mais espinhosa. Acho que provar que não é pi seja mais viável que o cálculo direto.

    Valeu!

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  3. Olá amigos.

    Este artigo é para fortalecer o nosso conhecimento sobre a área lateral de um Cone reto.
    Numa pesquisa recente descobrimos que a área quadrada de uma Elipse e igual à área lateral de um Cone Reto.

    Conclusão:

    se multiplicarmos um número por ele mesmo e depois por pi (3,14), o resultado é exatamente a área do Círculo.

    Se multiplicarmos um número por outro e depois por pi (3,14), o resultado é exatamente a área de uma Elipse, ok?

    De igual modo, se multiplicarmos um número por outro e depois por pi (3,14), o resultado é exatamente a área lateral de um Cone reto, ok?

    Um simples raciocínio, não é mesmo?

    Atenciosamente,

    edinho silva.

    Édison Martins da Silva.

    Compartilhando conhecimentos em Matemática Avançada.

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    1. Oi, Édison.

      Agradeceria se vc tecesse um comentário a respeito do que foi publicado na presente postagem.

      Acho inadequado usar este espaço para seu tema e ignorar o trabalho em vigor.

      Em outras ocasiões eu te respondi e comentei favoralvemente a respeito de seus trabalhos e tenho certeza que gostou.

      Se desejar transmitir algo mais, solicito usar o e-mail.

      Espero que não haja nenhum mal-entendido sobre o que escrevi.

      Atenciosamente.

      Aloisio Teixeira

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