sexta-feira, 19 de abril de 2013

114-Comportamento Gráfico de Certas Relações

Considerem relações, onde algumas delas ou todas podem  ser funções ou não, definidas pelas equações implícitas

 

 

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Exemplos de relações.   representa um círculo ,   representa a figura que estudamos no post 107  e .


O gráfico da relação-produto

  

assume as características individuais de cada relação componente. É lógico pois os pontos que satisfazem são os mesmos que satisfazem , ou .

Desta forma, podemos fazer o gráfico de várias relações por intermédio de uma única equação. Mas o conjunto de gráficos sobrepostos de é como se fosse uma única curva que representa a relação-produto.

Exemplo 1 O gráfico de representa uma reta. O de uma elipse e o de uma parábola. Logo, o gráfico da relação produto ou

(1)

é o que consta no diagrama:




Fazendo o produto das relações componentes de , este gráfico também pode ser expressado pelo polinômio do grau



No que concluimos que se na relação-produto as relações componentes forem todas algébricas ( polinômios ), então o grau de  será a soma dos graus de cada uma das relações componentes.



Um exemplo prático e artístico. Calculando a equação de cada um dos cinco círculos ( que é uma curva de grau ) do símbolo das olimpíadas em relação a um sistema de coordenadas cartesianas. e  fazendo a relação-produto, então encontraremos uma única equação de grau que esboça este desenho ( considerado plano e sem espessura, é claro ). Neste caso, é interessante escolher o centro do sistema como sendo o centro do círculo preto e, por comodidade, fazer o raio para cada círculo.


Para fins de melhor exposição, farei algumas definições.


Definição 1. Contato relativo ao gráfico de uma relação é o ponto onde ocorre auto-interceptação da curva.

O ponto é um contato no gráfico da relação .




Os pontos e são contatos no gráfico da relação-produto .



 
Vejam que o gráfico da relação (1) mostrado no primeiro diagrama deste post possui seis contatos.

O gráfico da relação do símbolo das olimpíadas possui oito contatos.

Definição 2. Relação monofuncional é a definida por onde é a lei de definição de uma função, sendo que é uma constante real.

Definição 3. Dadas as funções definidas por , ,...,relação polifuncional  é a relação- produto definida por


  onde é uma constante real.


Conjectura. Dado a constante com então o gráfico da relação produto não possui contatos. Em decorrência, o gráfico da relação polifuncional também não.


Com os programas modernos de se fazer gráficos, esta conjectura é um dos fatos mais curiosos observáveis na matemática. O que acontece é que os gráficos das relações componentes de quando , se deformam para evitar a existência de contatos, como "água e óleo", não se "misturam", produzindo os mais exóticos gráficos.

Faremos agora uma experiência.  Na relação bi-funcional seja e que é a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto . Assim, temos a relação bifuncional.  Se , o gráfico desta relação produto é




Observem que temos um contato no ponto  de tangência.

Porém, se , ou seja, se ,vejam o que acontece com este gráfico:




A parábola deixa de ser parábola e a reta deixa de ser reta. As curvas originais se "deformam" para "evitar" o contato. Quando crescer positivamente, ocorre um afastamento gradual entre as duas curvas originais.


Se agora a constante é negativa, vejam o que ocorre no caso de :


 Da mesma forma, inexistem contatos e se decrescer negativamente, ocorre também um afastamento entre as duas partes da curva.

Outro exemplo:



E como  último exemplo, o gráfico da relação-produto  para diferentes valores ( não muito grandes ) de .




Este último comportamento gráfico foi sugerido por Flávio Maia do grupo facebook Física e Matemática e administrador do blog http://ummatematico.blogspot.com.br.



Em outro post, demonstrarei a conjectura deste artigo para a relação bifuncional .













4 comentários:

  1. Teirei o chapéu para este post, li uma vez sobre um artigo intitulado "Teoria do Contato entre curvas planas", era um artigo de Geometria Diferencial, e sua abordagem é muito interessante e instiga a mente a procurar saber mais sobre este assunto, gostei muito.

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  2. Oi, Diego!

    O mais interessante é que as curvas 3D tem o mesmo comportamento nas relações produtos de três variáveis. Assim, por exemplo, podemos ter duas esferas mescladas para p=0, ou um ovóide no interior de outro para p>0 ou então duas conchas uma voltada para outra, se p<0.

    Obrigado por gostar e comentar.

    Abraços.

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  3. Muito interessante o tema explorado por você nesse post, Aloísio.Parabéns!!

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